Page 31 - RMGO 1

Relat , ia lui Sylvester ˆın rezolvarea unor probleme cu numere complexe 31

Solut ,ie. Dac˘a dou˘a dintre numerele u, v, w sunt egale, de exemplu u = v, atunci avem
|u − v + w| = |w| = 1 ≤ 1. Fie acum numerele u, v, w distincte dou˘a cˆate dou˘a. Notˆand
cu liter˘a mare punctul avˆand ca afix litera mic˘a omoloag˘a, din Teorema 1 se obt , ine
u + v + w = h, unde h este afixul ortocentrului H al triunghiului UV W. Dac˘a triunghiul
UV W este ascut , itunghic sau dreptunghic, alegem toate semnele + s , i problema este
rezolvat˘a deoarece H este in interiorul triunghiului UV W sau coincide cu un vˆarf, deci se
afl˘a ˆın interiorul cercului circumscris. Dac˘a triunghiul este obtuzunghic, de exemplu fie W
0
0
vˆarful unghiului obtuz, atunci pentru W (−w) obt , inem triunghiul UV W ascutitunghic.
0
Folosind argumentul de mai sus rezult˘a c˘a |u + v − w| = |u + v + w | ≤ 1.
Aplicat , ia 11. Se consider˘a ˆın plan punctele A, B, C, M ce au ca afixe numerele complexe
z A , z B , z C , z M de acelas ,i modul. Fie A 1 , B 1 , C 1 ortocentrele triunghiurilor MBC, MAC,
MAB. S˘a se arate ca triunghiurile ABC s ,i A 1 B 1 C 1 sunt congruente s ,i se obt ,in unul din
cel˘alalt printr-o simetrie central˘a.
Lista scurt˘a O.N.M. 2005, Nicolae Papacu
= z M + z A + z C (2);
Solut ,ie. Cu Teorema 1 se obt , ine z A 1 = z M + z B + z C (1); z B 1
0
0
0
= z M + z A + z B (3). Sc˘azˆand dou˘a cˆate dou˘a relat , iile (1 ), (2 ), (3 ) se obt , ine
z C 1
0 0
z A 1 − z B 1 = z B − z A (1 ); z B 1 − z C 1 = z C − z B (2); z C 1 − z A 1 = z A − z C (3 ). Trecˆand
0
0
0
la module ˆın (1 ), (2 ), (3 ) urmeaz˘a c˘a AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 , adic˘a
triunghiurile ABC s , i A 1 B 1 C 1 sunt congruente.
0
0
0
A doua parte a concluziei rezult˘a din faptul c˘a folosind (1 ), (2 ), (3 ) se obt , ine c˘a
+z C , adic˘a A 1 B 1 AB, B 1 C 1 BC, C 1 A 1 CA sunt paralelograme s , i
z A 1 +z A = z B 1 +z B = z C 1
astfel A 1 B 1 C 1 este simetricul lui ABC fat , ˘a de puncul O, unde {O} = AA 1 ∩ BB 1 ∩ CC 1 .
Aplicat , ia 12. Fie ABC un triunghi cu lungimile laturilor a, b, c s ,i cu varfurile de afixe
z A , z B , z C astfel ˆıncˆat |z A | = |z B | = |z C | = 1. S˘a se arate c˘a dac˘a

2 2 2
a b c

· + · + · = abc,
z B + z C z C + z A z A + z B

z A z B − z C z B z C − z A z C z A − z B
atunci triunghiul ABC este dreptunghic.
G.M.-B nr. 12/1999, enunt , corectat
2
1 1 (z B − z C )
2
2
Solut ,ie. a = |z B − z C | = (z B − z C )(z B − z C ) = (z B − z C ) − = − ,
z B z C z B z C
2 2 2
a z B + z C z − z B
C
deci · = 2 . Atunci relat , ia din ipotez˘a se scrie
z A z B − z C z z B z C
A
2 2 2 2 2 2
z − z z − z z − z
abc = C B + A C + B A ,
2 2 2
z z B z C z z C z A z z A z B
A B C
adic˘a
2
2
2
2
2
2
abc = |z B z C (z − z ) + z C z A (z − z ) + z A z B (z − z )|
B
A
C
B
C
A
s , i, dup˘a calcule, avem abc = |(z C − z B )(z B − z A )(z A − z C )(z A + z B + z C )|, deci
abc = abc|z A + z B + z C | s , i astfel |z A + z B + z C | = 1, de unde conform Propozit , iei 1
rezult˘a c˘a triunghiul ABC este dreptunghic.