Page 35 - RMGO 1

Asupra unor limite de siruri
,

˘
˘
1
Costel BALCAU s , i Mihai Florea DUMITRESCU 2
√

ˆ In acest articol vom prezenta un rezultat de aproximare asimptotic˘a a s , irului n n! ,
n≥2
bazat˘a pe formula lui Stirling cu margini ale restului date de H. Robbins ˆın [5]. Vom
aplica acest rezultat pentru calculul limitelor unor s , iruri remarcabile precum s ,irul lui
p √
n
Traian Lalescu L n = n+1 (n + 1)! − n!, n ≥ 2, propus ˆın [4], s , i s ,irul lui Dumitru M.
(n + 1) 2 n 2
B˘atinet ,u-Giurgiu b n = p − √ , n ≥ 2, propus ˆın [1].
n+1 n
(n + 1)! n!
Dincolo de aceste exemple, formula lui Stirling de aproximare asimptotic˘a este deosebit
de util˘a ˆın analiza complexit˘at , ii algoritmilor.
√ n 2n n ln(2π)
√
Propozit , ia 1. Avem lim n n! − = .
n→∞ e 2e
Demonstrat¸ie. Utilizˆand urm˘atoarea inegalitate dubl˘a de tip Stirling, propus˘a s , i demon-
strat˘a de H. Robbins ˆın [5],
√ n 1 √ n 1
n
n
∗
2πn · · e 12n+1 < n! < 2πn · · e 12n , ∀n ∈ N ,
e e
avem, succesiv:
√ √ √
2n n 1 n n n 1
2πn · · e 12n 2 +n < n! < 2πn · · e 12n 2 ;
√ e √ √ e
√
√
n 2n n 2n 1 √ n 2n n n 2n n 2n 1
n
2π · e 12n 2 +n − 1 < n! − < 2π · e 12n 2 − 1 ;
e e e
√ √ √ √
n 2n n ln(2π) + 1 n n 2n n n 2n n ln(2π) + 1
e 2n 12n 2 +n − 1 < n! − < e 2n 12n 2 − 1 .
e e e
Cum
√
n 2n n ln(2π) + 1
lim e 2n 12n 2 +n − 1
n→∞ e
ln(2π) + 1 √
e 2n 12n 2 +n − 1 n 2n n ln(2π) 1
= lim · · +
2
n→∞ ln(2π) + 1 e 2n 12n + n
2n 12n 2 +n
√
n 2n n ln(2π) 1
= lim · +
2
n→∞ e 2n 12n + n
√ ln(2π) 1 ln(2π)
= lim 2n n + =
n→∞ 2e e(12n + 1) 2e
1 Conf. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, cbalcau@yahoo.com
2 Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com
35