Page 39 - RMGO 1

Numere p-adice. Aplicat , ii (I) 39

Observat ,ia 4. Fie a, b numere naturale nenule. Atunci a divide b dac˘a s , i numai dac˘a
v q (a) ≤ v q (b) pentru orice num˘ar prim q.
∗
ˆ Intr-adev˘ar, dac˘a a|b atunci exist˘a c ∈ N astfel ˆıncˆat b = ac, deci v q (b) = v q (ac) =
∗
v q (a) + v q (c) ≥ v q (a). Reciproc, dac˘a v q (a) ≤ v q (b) (∀) q ∈ N prim, atunci considerˆand
descompunerea ˆın factori primi a = q m 1 · . . . · q m k (a) = m i pentru orice
1 k avem v q i (b) ≥ v q i
i ∈ {1, . . . , k}, deci b este divizibil cu fiecare factor q m i , i ∈ {1, . . . , k}, deci s , i cu a.
i
Ne propunem ˆın continuare s˘a prezent˘am cˆateva aplicat , ii ˆın care vom folosi propriet˘at , ile
valu˘arii p-adice.
∗
∗
n
Aplicat , ia 1. Fie a, b ∈ N astfel ˆıncˆat a |b n+1 pentru orice n ∈ N . Ar˘atat ,i c˘a a|b.
n
n
Solut ,ie. Fie q un num˘ar prim. Din a |b n+1 rezult˘a v q (a ) ≤ v q (b n+1 ), deci
(n + 1)
∗
nv q (a) ≤ (n + 1) v q (b), adic˘a v q (a) ≤ · v q (b), (∀) n ∈ N . Atunci v q (a) ≤ v q (b),
n
∗
(∀) q ∈ N prim, adic˘a a|b.
√
Aplicat , ia 2. Ar˘atat ,i c˘a k 6 /∈ Q pentru orice k ∈ N, k ≥ 3.
√ √ a
∗
Solut ,ie. Presupunem c˘a exist˘a k ∈ N, k ≥ 3 astfelˆıncˆat k 6 ∈ Q, deci k 6 = , cu a, b ∈ N .
b

k

k
k
Atunci a = 6 · b . Rezult˘a c˘a v 3 a k = v 3 6b , de unde kv 3 (a) = v 3 (6) + kv 3 (b), deci
kv 3 (a) = 1 + kv 3 (b) . Obt , inem 1 = k (v 3 (a) − v 3 (b)), de unde rezult˘a k|1, contradict , ie.
ˆ In cazul factorialului, ˆın [2] avem urm˘atorul rezultat celebru.
∗
Teorema 1 (formula lui Legendre). Dac˘a p este un num˘ar prim s ,i n ∈ N , atunci

n n X n
v p (n!) = + + . . . = .
p p 2 p k
k≥1
Evident, ˆın suma de mai sus exist˘a un num˘ar finit de termeni nenuli.

Vom pune ˆın evident , ˘a acest rezultat remarcabil.
Aplicat , ia 3. S˘a se determine ˆın cˆate zerouri se termin˘a num˘arul 2017!

∗
n
Solut ,ie. Num˘arul cerut este cel mai mare exponent n ∈ N pentru care 10 |2017!. Aplic˘am
formula lui Legendre ˆın felul urm˘ator: 10 = 2 · 5, n = min {v 2 (2017!) , v 5 (2017!)}, adic˘a
n = v 5 (2017!). As , adar:

2017 2017 2017 2017
v 5 (2017!) = + + + + . . . = 403 + 80 + 16 + 3 = 502.
5 5 2 5 3 5 4

Aplicat , ia 4. S˘a se determine exponentul lui 7 ˆın descompunerea ˆın factori primi a
num˘arului n = 1510 · 1511 · . . . · 2017.