Page 43 - RMGO 1

Numere p-adice. Aplicat , ii (I) 43

ˆ
ˆ
ˆ
Observat ,ia 9. Fie ˆα, β ∈ O p . Atunci ˆα se divide cu β dac˘a s , i numai dac˘a v p (ˆα) ≥ v p (β).
Evident, unit˘at , ile au valuarea p-adic˘a zero. Pentru studiul propriet˘at , ilor divizibilit˘at , ii
este important de s , tiut care sunt unit˘at , ile p-adice. Aceste lucruri au fost stabilite mai sus
ˆ
s , i putem afirma c˘a aritmetica inelului O p este foarte simpl˘a. In el exist˘a un unic (pˆan˘a la
o asociere - ˆınmult , ire cu o unitate) element prim (adic˘a diferit de unit˘at , i s , i divizibil doar
cu unit˘at , ile s , i cu el ˆınsus , i, eventual ˆınmult , it cu o unitate) s , i acesta este num˘arul p (de
valuare p-adic˘a 1). Toate celelalte elemente nenule din O p se exprim˘a prin puteri ale lui p
s , i unit˘at , i.
ˆ Intr-un viitor articol ne vom ˆındrepta atent , ia asupra congruent , elor ˆın inelul O p , precum
s , i ˆın construct , ia corpului Q p al numerelor p-adice.
La final, dorim s˘a mult , umim domnilor profesori Victor Alexandru s , i Costel B˘alc˘au,
pentru discut , iile constructive avute pe marginea temei abordate.

Bibliografie

[1] V. Alexandru, N. Gos , oniu, Elemente de teoria numerelor, Ed. Univ. din Bucures , ti, 1999.

[2] Y. Amice, Le nombres p-adiques, Presses Univ. de France, 1975.
[3] G. Bachman, Introduction to p-adic numbers and valuation theory, Academic Press, New
York, 1964.

[4] Z.I. Borevici, I.R. Safarevici, Teoria numerelor, Ed. S , tiint , ific˘a s , i Enciclopedic˘a, Bucures , ti,
1985.
[5] G. Groza, A. Popescu, Extensions of valued fields, Ed. Academiei Romˆane, Bucures , ti, 2011.