Page 34 - RMGO 1

34 Leonard GIUGIUC s , i Cristinel MORTICI
2 2
2
s ≥ √ avem g (s) ≤ 0. Dac˘a s ≥ √ putem minora p cu 0 s , i obt , inem inegalitatea
3 3

2
2
2
strict˘a 4s + p − 5 > 0. Dac˘a s ∈ 1, √ este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a
3
2
3
3
2
2
4s + 3s − 2s − 2 s − 1 2 − 5 ≥ 0. (2)
Acum efectu˘am substitut , ia

1 1
s = t + , t ≥ 1.
2 t
2
2
Dup˘a ˆınlocuire, relat , ia (2) va deveni t − 1 2 t − 2 2 ≥ 0, lucru evident adev˘arat. Deci
inegalitatea a fost demonstrat˘a.
√
Pentru egalitate, obt , inem c˘a t ∈ 1, 2 . Dac˘a t = 1, atunci s = 1 s , i p = 1, obt , inˆand
√ 3 1
tripletul (1; 1; 1). Dac˘a t = 2 atunci s = √ s , i p = √ , ˆın acest caz vom obt , ine
2 2 2
√ √ 1

permutarile tripletului 2; 2; √ .
2 2
ˆ Incheiem cu o inegalitate dintr-o clas˘a us , or diferit˘a, dar reductibil˘a la funct , ii cubice.
Aplicat , ia 3. Demonstrat ,i c˘a pentru orice a, b, c > 0, are loc inegalitatea
9 1
− ≤ 2.
ab + bc + ca abc
√ 1
3
2 2 2
Solut ,ie. Folosim inegalitatea ab + bc + ca ≥ 3 a b c s , i notat , ia x = √ :
3
abc
9 1 9 1 2 3 2
2 − + ≥ 2 − √ + = 2 − 3x + x = (x − 1) (x + 2) ≥ 0.
ab + bc + ca abc 3 a b c abc
3
2 2 2