Page 33 - RMGO 1

Inegalit˘at , i reductibile la funct , ii cubice 33

Fie funct , ia
3
g : (0, 1] → R, g (s) = 3s − 2 + 2(1 − s) .
2
√
0
Avem g (s) = 3 1 − 1 − s ≥ 0, ∀ s ∈ (0, 1], deci g este strict cresc˘atoare. Mai mult, g
fiind continu˘a, ea are imaginea egal˘a cu (0, 1]. Deci pentru orice s fixat din (0, 1] valoarea
ˆ
maxim˘a a lui p este ˆıntr-adev˘ar g (s). In concluzie, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a
h i
3
9s ≥ 3s − 2 + 2(1 − s) 2 (25 − 16s) , ∀ s ∈ (0, 1] .
√
2
Not˘am 1 − s = w, deci w ∈ [0, 1) s , i s = 1 − w , iar ultima inegalitate este echivalent˘a cu
2
2
2
3
9 1 − w 2 ≥ 2w − 3w + 1 9 + 16w 2 , adic˘a cu (1 − w) w (4w − 1) ≥ 0,
ceea ce este evident adev˘arat ∀ w ∈ [0, 1). Deci inegalitatea a fost demonstrat˘a.
ˆ In continuare vom studia cazurile de egalitate. Evident, aceasta are loc dac˘a s , i numai

1 15 27
ˆ
dac˘a w ∈ 0, ⇔ s = 1, p = 1 sau s = , p = . In primul caz obt , inem tripletul
4 16 32

1 1 1 1 1 1
; ; iar ˆın cel de-al doilea tripletul ; ; s , i permut˘arile lui.
3 3 3 4 4 2
Un alt tip de inegalit˘ati condit , ionate ˆın trei variabile ˆıl reprezint˘a inegalit˘at ,ile de tip
Blundon, ˆın care cunoas , tem valoarea lui ab + bc + ca.
Aplicat , ia 2. Fie numerele reale a, b, c > 0 cu ab + bc + ca = 3. Demonstrat ,i c˘a
9 2 2 2 21
2
2
2
a + b + c + · a b c ≥ .
4 4
Cˆand are loc egalitatea?
2
Solut ,ie. Not˘am 3s = a + b + c. Din relat , ia (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) obt , inem c˘a
s ≥ 1. De asemenea, este cunoscut faptul c˘a numerele a, b s , i c sunt r˘ad˘acinile ecuat , iei
cubice
3
2
x − 3sx + 3x − p = 0, unde p = abc.
Efectuˆand substitut , ia x = y + s, obt , inem ecuat , ia echivalent˘a
3
3
2

y − 3 s − 1 y + 3s − 2s − p = 0.
2
3
Aplicˆand teorema pentru m = s − 1 s , i n = 3s − 2s − p deducem c˘a
3
3
2
p ≥ 3s − 2s − 2 s − 1 2 . (1)
Vom prelucra membrul stˆang al inegalit˘at , ii din enunt , . Cum
2
2
2
2
2
a + b + c = (a + b + c) − 2 (ab + bc + ca) = 9s − 6,
2
2
aceast˘a inegalitate devine 4s + p − 5 ≥ 0. Revenim ˆın relat , ia (1) pentru a studia funct , ia
3
2
3
g : [1, ∞) → R, g (s) = 3s − 2s − 2 s − 1 2 .
√ 2
0
2
Evident, g (s) = −3 s + s − 1 < 0 ∀ s ≥ 1, deci g este strict descresc˘atoare. Astfel

2 2
ecuat , ia g (s) = 0 are solut , ia unic˘a s = √ , pentru s ∈ 1, √ avem g (s) > 0, iar pentru
3 3