Page 29 - RMGO 1

Relat , ia lui Sylvester ˆın rezolvarea unor probleme cu numere complexe 29
2
(z A + z B )(z A z C + z B z C + z A z B + z ) = 0 ⇒ (z A + z B )(z B + z C )(z C + z A ) = 0,
C
adic˘a dou˘a dintre afixe sunt opuse, deci dou˘a dintre punctele A, B, C sunt diametral
opuse. Prin urmare, triunghiul ABC este ˆınscris ˆın C(O, R) cu dou˘a vˆarfuri diametral
opuse, deci este dreptunghic.
Observat ,ia 2. Condit , ia |z A +z B +z C | = R, unde A, B, C ∈ C(O, R), s , i relat ,ia lui Sylvester
implic˘a |z H | = R, adic˘a H ∈ C(O, R). Deci ortocentrul triunghiului ABC se afl˘a pe cercul
circumscris triunghiului ABC, obt , inˆandu-se astfel c˘a H coincide cu un vˆarf al triunghiului
ABC.

Aplicat , ii

Aplicat , ia 1. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = r s ,i |z 1 + z 2 + z 3 | = r.
Ar˘atat ,i c˘a |z 1 2001 + z 2001 + z 2001 | = r 2001 .
2
3
O.L.M. Arges , 2001, Daniel Jinga
Solut ,ie. Pentru r = 0 este evident. Pentru r > 0 s , i numere z 1 , z 2 , z 3 distincte dou˘a cˆate
dou˘a, conform Propozit , iei 1 se obt , ine c˘a dou˘a dintre numerele complexe z 1 , z 2 , z 3 sunt
opuse s , i concluzia este imediat˘a. Dac˘a dou˘a dintre cele trei numere complexe sunt egale, de
2 2
2r r
2
2
2
exemplu z 1 = z 2 , atunci |2z 1 +z 3 | = r ⇒ |2z 1 +z 3 | = r ⇒ (2z 1 +z 3 ) + = r ⇒
z 1 z 3

2 1 2z 1 2z 3 z 1 z 3
2
(2z 1 + z 3 ) + = 1 ⇒ 4 + + = 0 ⇒ 2 + + = 0 ⇒ (z 1 + z 3 ) = 0 ⇒
z 1 z 3 z 3 z 1 z 3 z 1
z 1 + z 3 = 0, deci z 1 s , i z 3 sunt opuse s , i astfel rezult˘a din nou concluzia. Cele trei numere
nu pot fi toate egale s , i nenule pentru c˘a ar ˆınsemna |3z 1 | = r ⇒ 3r = r ⇒ r = 0 ⇒
z 1 = z 2 = z 3 = 0, contradict , ie.
Aplicat , ia 2. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1 s ,i z 1 + z 2 + z 3 = 1.
1 1 1
Calculat ,i 1997 + 1997 + 1997 .
z 1 z 2 z 3
G.M.-B nr. 1/1998, Cristian Grecu
ˆ
Solut ,ie. In Aplicat , ia 1 consider˘am r = 1 s , i rezult˘a c˘a dou˘a dintre cele trei numere complexe
sunt opuse. Cum 1997 este impar se obt , ine c˘a suma cerut˘a este egal˘a cu 1, pentru c˘a dou˘a
sunt opuse s , i al treilea este 1.
Aplicat , ia 3. Dac˘a |z i | = 1 pentru i ∈ {1, 2, 3} s ,i |z 1 + z 2 + z 3 | = 1, atunci
(z 1 + z 2 )(z 2 + z 3 )(z 3 + z 1 ) = 0.

Solut ,ie. Concluzia rezult˘a din Aplicat , ia 1.
Aplicat , ia 4. Dac˘a |z i | = 1 pentru i ∈ {1, 2, 3} s ,i z 1 + z 2 + z 3 = 1, demonstrat ,i c˘a
z 3 n + z 3 n + z 3 n = 1, pentru orice n ∈ N.
1 2 3
O.J.M. Harghita 1998
Solut ,ie. Din Aplicat , ia 1 cu r = 1 rezult˘a c˘a dou˘a dintre cele trei numere complexe sunt
n
opuse s , i cum suma lor este 1 atunci cel de-al treilea este 1. Dar 3 este num˘ar impar
pentru orice n ∈ N s , i concluzia este evident˘a.
Aplicat , ia 5. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C cu |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1 s ,i z 1 + z 2 + z 3 = −i.

a) Calculat ,i (z 1 + i)(z 2 + i)(z 3 + i).