Page 8 - RMGO 4

8 Probleme propuse

Clasa a X-a

∗
MGO 146. Demonstrat , i c˘a pentru orice n ∈ N are loc inegalitatea
n
1 n
X
< .
n+1
2
(k + k) + n (n + 1) 2
k=1
Mih´aly Bencze, Bras , ov
MGO 147. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia
√
q
3 x x x x−1 p x x x−1
3
13 − 2 − 3 − 3 · 6 − 21x + 2 + 3 + 3 · 6 − 21x − 1
√
q
3 p
3
x
= 13 + 3 · 6 x−1 − 21x − 1 − 3 · 6 x−1 + 21x.
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
MGO 148. Fie z 1 , z 2 s , i z 3 numere complexe ce satisfac relat , iile
1 1 1
1 + z 1 z 2 z 3 = 0 s , i z 1 + z 2 + z 3 = + + .
z 1 z 2 z 3
Demonstrat , i c˘a produsul a dou˘a dintre numerele z 1 , z 2 , z 3 este egal cu 1.
Dorin M˘arghidanu, Corabia
si
MGO 149. Fie s , irurile (a n ) n≥1 , (b n ) n≥1 definite prin
π 3π (2n − 1)π
a n = sin + sin + . . . + sin ,
2n + 1 2n + 1 2n + 1
π 3π (2n − 1)π
b n = cos + cos + . . . + cos ,
2n + 1 2n + 1 2n + 1
∗
pentru orice n ∈ N .
a) Studiat , i monotonia celor dou˘a s , iruri.
∗
b) Ar˘atat , i c˘a a n > b n , pentru orice n ∈ N .
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

MGO 150. Fie d 1 s , i d 2 dou˘a drepte perpendiculare care se intersecteaz˘a ˆın
punctul O s , i fie ω 1 , ω 2 , ω 3 s , i ω 4 patru cercuri care trec prin O, astfel ˆıncˆat ω 1 s , i
ω 2 sunt tangente la d 1 iar ω 3 s , i ω 4 sunt tangente la d 2 .
Demonstrat , i c˘a, indiferent cum s-ar nota celelalte patru puncte de intersect , ie
ale cercurilor date cu X, Y , Z s , i T, avem
OX OZ XZ
· = .
OY OT Y T
Cristinel Mortici, Viforˆata