Page 9 - RMGO 4

Probleme propuse 9

Clasa a XI-a

MGO 151. Fie A, B, C ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat AB +BC +CA = BA+CB +AC.
Demonstrat , i c˘a

3 2
2
2
2

det A + B + C − AB − BC − CA ≥ [det(A − C) − det(B − C)] .
4
Daniel Jinga, Pites , ti
2
MGO 152. Fie A, B ∈ M n (C), unde n ∈ N, n ≥ 2, astfel ˆıncˆat A = O n ,
2
rang (A) = 1 s , i B = AB 6= O n .
a) Demonstrat , i c˘a n > 2 s , i BA = O n .
b) Ar˘atat , i c˘a pentru orice n > 2 exist˘a o infinitate de matrice cu propriet˘at , ile
date.

Florin St˘anescu, G˘aes , ti

MGO 153. Fie s , irul (x n ) definit prin x 0 = 3 s , i x n = 2x n−1 + n sin n, ∀ n ≥ 1.
n≥0
a) Ar˘atat , i c˘a x n > 0, pentru orice n ∈ N.
√
b) Demonstrat , i c˘a s , irul (y n ) definit prin y n = n x n este convergent s , i
n≥2
calculat , i-i limita.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

1
x
3
3
y
MGO 154. Fie x, y ∈ 0, astfel ˆıncˆat 2 + y < 2 + x .
2
2
y
x
2
Demonstrat , i c˘a 3 + y < 3 + x s , i reciproc.
Cristinel Mortici, Viforˆata
2
2
2
MGO 155. Fie x, y, z ≥ 0 astfel ˆıncˆat xy + yz + zx + xyz ≤ 4.
Demonstrat , i c˘a x + y + z ≥ xy + yz + zx.
Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania s , i Hung Nguyen Viet, Vietnam