Page 7 - RMGO 4

Probleme propuse 7

Clasa a IX-a

MGO 141. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale urm˘atorul sistem de ecuat , ii:

( 2 2 2
a + b + c = 1
√ √ .
2
|a + 4b − 5c| + |b + 4c − 5a| + |c + 4a − 5b| + 14(a + b + c) = 3 14
Do Xuan Trong, Vietnam

∗
MGO 142. Fie a ∈ N . Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

x x x
− = .
a a + 1 2a + 1
Marin Chirciu, Pites , ti

MGO 143. Fie a, b, c, d numere reale pozitive astfelˆıncˆat ab+bc+cd+da = 4abcd.
Demonstrat , i c˘a

1 1 1 1 √
√ + √ + √ + √ ≤ 2 2.
3
3
3
3
a + b 3 b + c 3 c + d 3 d + a 3
Daniel Jinga, Pites , ti
MGO 144. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc identitatea

A B C A B C
(p − a) sin + (p − b) sin + (p − c) sin = r cos + cos + cos .
2 2 2 2 2 2
Mih´aly Bencze, Bras , ov

ˆ
MGO 145. In triunghiul ABC se ˆınscrie un semicerc care are centrul pe latura
BC s , i este tangent la laturile AB s , i AC. Se consider˘a punctele Y ∈ [AC] s , i
Z ∈ [AB] astfel ˆıncˆat dreapta Y Z s˘a fie tangent˘a la semicerc. Fie CY = y s , i
BZ = z. Demonstrat , i c˘a

2
2
2
(b + c) yz = b − c 2 (bz − cy) + a bc.
Francisco Javier Garc´ıa Capit´an, Spania