Page 4 - RMGO 4

4 Probleme propuse

Clasa a VI-a

n
MGO 126. Determinat , i numerele naturale n pentru care num˘arul 2020 −2019 n
este divizibil cu 7.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

9
MGO 127. Rezolvat , i ˆın numere ˆıntregi ecuat , ia x 15 + y = 2020.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
MGO 128. Fie a, b, c ∈ Q s , i n ∈ N astfel ˆıncˆat a + b 6= 0, b + c 6= 0 s , i
2
a + b c − a n + n + 1
(n + 1)a + b = nc. Ar˘atat , i c˘a + = .
b + c a + b n(n + 1)
Marin Chirciu, Pites , ti

◦
MGO 129. Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC s , i ^A = 20 . Se construiesc
∗
semidreptele s 1 , s 2 , . . . , s m , m ∈ N , fiecare avˆand originea ˆın punctul B s , i fiind
interioar˘a unghiului ^ABC, astfel ˆıncˆat unghiul dintre semidreapta s i s , i semi-
◦
dreapta [BC s˘a aib˘a m˘asura egal˘a cu i · 5 , pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , m}. Analog,
∗
se construiesc semidreptele t 1 , t 2 , . . . , t n , n ∈ N , fiecare avˆand originea ˆın punctul
C s , i fiind interioar˘a unghiului ^ACB, astfel ˆıncˆat unghiul dintre semidreapta t j
◦
s , i semidreapta [CB s˘a aib˘a m˘asura egal˘a cu j · 3 , pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Oricare dou˘a semidrepte s i s , i t j , cu i ∈ {1, 2, . . . , m} s , i j ∈ {1, 2, . . . , n}, se inter-
secteaz˘a ˆıntr-un punct; acest punct ˆımpreun˘a cu punctele B s , i C determin˘a un
triunghi. Not˘am cu T mult , imea tuturor acestor triunghiuri.

a) Determinat , i cele mai mari valori posibile pentru numerele m s , i n.

b) Pentru m s , i n determinate la punctul a), calculat , i probabilitatea ca alegˆand
la ˆıntˆamplare un triunghi din mult , imea T , acesta s˘a fie isoscel sau dreptunghic.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

MGO 130. Se consider˘a un triunghi ABC cu AB = AC, E mijlocul laturii BC s , i
D un punct oarecare pe segmentul (AE). Fie DM ⊥ AB, M ∈ AB s , i MN ⊥ AC,
N ∈ AE. Demonstrat , i c˘a punctul N este mijlocul segmentului (AD) dac˘a s , i numai
dac˘a 4ABC este echilateral.

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava