Page 6 - RMGO 4

6 Probleme propuse

Clasa a VIII-a

MGO 136. Pentru orice num˘ar natural nenul n consider˘am mult , imea
)
r r
(r
r
1 2 3 n
A n = , , , . . . , .
2020 2020 2020 2020
∗
a) Cˆate numere n ∈ N au proprietatea c˘a A n cont , ine exact 2020 de numere
rat , ionale?
b) Dar exact 2020 de numere irat , ionale?
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

1
∗
MGO 137. Pentru orice n ∈ N consider˘am numerele a n = s , i
n(n + 1)
1 1 1 1
S n = + + + . . . + .
a 1 a 1 + a 2 a 1 + a 2 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n
Ar˘atat , i c˘a 68 < S 64 < 71.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

MGO 138. Ar˘atat , i c˘a pentru orice x 1 ≥ 1, x 2 ≥ 2 s , i x 3 ≥ 3 astfel ˆıncˆat
1 2 3
+ + = s, s ∈ (0, 3), are loc inegalitatea
x 1 x 2 x 3
√ √ √
p
(3 − s)(x 1 + x 2 + x 3 ) ≥ x 1 − 1 + x 2 − 2 + x 3 − 3.
Dorin M˘arghidanu, Corabia

MGO 139. Se consider˘a piramida hexagonal˘a regulat˘a V ABCDEF cu muchia
bazei AB = a. Calculat , i ˆın˘alt , imea acestei piramide (ˆın funct , ie de a), s , tiind c˘a aria
sa lateral˘a este egal˘a cu aria total˘a a piramidei V ACE.

Costel Anghel, Slatina
MGO 140. Se consider˘a piramida hexagonal˘a regulat˘a V ABCDEF cu muchia
bazei AB = 9 cm s , i ˆın˘alt , imea V O = 12 cm. Dintre toate prismele hexagonale
regulate ˆınscrise ˆın piramida dat˘a, se consider˘a aceea de volum maxim. Calculat , i:
a) raportul dintre volumul acestei prisme s , i volumul piramidei;

b) ˆın˘alt , imea prismei;
c) distant , a de la V la vˆarfurile prismei situate pe fet , ele laterale ale piramidei.

Florea Badea, Scornices , ti