Page 11 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 11

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a V-a

ˆ
MGO 81. In cˆate moduri se poate scrie 2020 ca sum˘a de numere impare conse-
cutive?

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Solut ,ie. Fie 2k + 1, 2k + 3, . . . , 2k + 2n − 1 n numere impare consecutive. Suma
2
lor este 2k + 1 + 2k + 3 + . . . + 2k + 2n − 1 = 2nk + n = n(n + 2k). Avem
2
n(n+2k) = 2020, adic˘a n(n+2k) = 2 ·5·101. Cum n s , i n+2k au aceeas , i paritate,
rezult˘a c˘a n este un divizor par al lui 2020 s , i n nu se divide cu 4. Deci n poate fi 2,
10, 202 sau 1010. Pentru n = 2 g˘asim 2k = 1008, deci solut , ia 2020 = 1009 + 1011.
Pentru n = 10 g˘asim 2k = 192, deci solut , ia 2020 = 193 + 195 + . . . + 211. Pentru
n = 202 g˘asim 202 + 2k = 10, fals. Pentru n = 1010 g˘asim 1010 + 2k = 2, de
asemenea fals. Deci problema are dou˘a solut , ii.
n
n
n
MGO 82. Ar˘atat ,i c˘a numerele 45 s , i 45 + 5 au acelas , i num˘ar de cifre, pentru
orice num˘ar natural n.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Solut ,ie. Presupunˆand c˘a numerele date nu au acelas , i num˘ar de cifre, rezult˘a c˘a
p
n
n
n
exist˘a p natural astfel ˆıncˆat 45 < 10 ≤ 45 +5 . Deducem c˘a p > n s , i, ˆımp˘art , ind
n
n
p
n
n
n
prin 5 , c˘a 9 < 2 · 5 p−n ≤ 9 + 1. Dar numerele 9 s , i 9 + 1 sunt consecutive,
n
p
deci 2 ·5 p−n = 9 +1 = M8+2, de unde p = 1 s , i n = 0, care nu verific˘a egalitatea
p
n
2 · 5 p−n = 9 + 1.
A
MGO 83. Determinat ,i ultimele dou˘a cifre ale num˘arului N = 7 , unde
2
2
A = p + p + . . . + p 2 , p 1 , p 2 , . . . , p 2019 fiind numere naturale impare.
1 2 2019
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
2
Solut ,ie. Se s , tie c˘a dac˘a p este impar avem p = M4 + 1, deci A = M4 + 3. Dar
4k
zu(7 ) = 01, zu(7 4k+1 ) = 07, zu(7 4k+2 ) = 49, zu(7 4k+3 ) = 43, deci zu(A) = 43.
MGO 84. Se consider˘a numerele 1000, 1001, 1002, . . . , 2019.
a) Cˆate p˘atrate perfecte se g˘asesc printre numerele date?
b) Calculat ,i suma resturilor ˆımp˘art ,irilor numerelor date prin 13.
* * *