Page 16 - RMGO 4

16 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

r
2
2
a + b + c 2
MGO 97. Fie a, b, c > 0 cu a+b+c = 1. Ar˘atat ,i c˘a +18abc ≤ 1.
3
Marin Ionescu, Pites , ti
r 2 2 2 2 2 2
a + b + c a + b + c
2
2
2
2
Solut ,ie. Avem ≤ = a + b + c = (a + b + c) −
3 a + b + c

1 1 1 1 1 1 9
2(ab + ac + bc) = 1 − 2abc + + . Dar + + ≥ = 9, deci
a b c a b c a + b + c
r 2 2 2
a + b + c
≤ 1 − 18abc.
3
MGO 98. Ar˘atat ,i c˘a pentru orice a, b, c > 0 are loc inegalitatea
a(a − b)(2b + c) b(b − c)(2c + a) c(c − a)(2a + b)
+ + ≥ 0.
b + 2c c + 2a a + 2b
Ardak Mirzakhmedov, Kazahstan

a(a − b)(2b + c)
2
Solut ,ie. Inegalitatea dorit˘a devine, succesiv: + a + 2ab +
b + 2c

b(b − c)(2c + a) c(c − a)(2a + b)
2
2
2
+ b + 2bc + + c + 2ca ≥ (a + b + c) ⇔
c + 2a a + 2b
3a(ab + bc + ca) 3b(ab + bc + ca) 3c(ab + bc + ca)
+ + ≥ (a + b + c) 2 ⇔
b + 2c c + 2a a + 2b
a b c (a + b + c) 2
+ + ≥ . Ultima inegalitate se obt , ine, utilizˆand
b + 2c c + 2a a + 2b 3(ab + bc + ca)
a b c a 2
Inegalitatea lui Titu Andreescu, astfel: + + = +
b + 2c c + 2a a + 2b ab + 2ca
b 2 c 2 (a + b + c) 2 (a + b + c) 2
+ ≥ = .
bc + 2ab ca + 2bc (ab + 2ca) + (bc + 2ab) + (ca + 2bc) 3(ab + bc + ca)
MGO 99. Un trunchi de piramid˘a regulat˘a este sect ,ionat cu un plan paralel
cu bazele astfel ˆıncˆat volumele celor dou˘a trunchiuri obt ,inute s˘a fie egale. Dac˘a
not˘am cu L s , i l lungimile laturilor bazelor trunchiului dat s , i cu m lungimea laturii
poligonului de sect ,iune, ar˘atat ,i c˘a volumul cubului de muchie m este egal cu media
aritmetic˘a a volumelor cuburilor de muchii L s , i l.
* * *
Solut ,ie. Fie V vˆarful piramidei din care provine trunchiul. Notˆand cu v 1 volumul
piramidei mici (cu vˆarful V s , i avˆand ca baz˘a baza mic˘a a trunchiului) s , i cu v 2
valoarea comun˘a a volumelor celor dou˘a trunchiuri (obt , inute prin sect , ionarea
trunchiului dat), folosind rapoartele de asem˘anare dintre piramida mic˘a, cea
mijlocie (cu vˆarful V s , i avˆand ca baz˘a poligonul de sect , iune) s , i cea mare (piramida
l 3 l 3
v 1 v 1
din care provine trunchiul), avem = s , i = . Rezult˘a c˘a
v 1 + v 2 m 3 v 1 + 2v 2 L 3
v 1 l 3 v 1 l 3 l 3 2l 3
= s , i = , deci = , de unde se obt , ine c˘a
3
3
3
3
v 2 m − l 3 2v 2 L − l 3 m − l 3 L − l 3
3
L + l 3
3
m = , ceea ce trebuia demonstrat.
2