Page 21 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 21

MGO 107. Fie a > 0, a 6= 1. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
2
log (x − 2a − 1) = log 2a+1 (2x + 2a − 1).
a
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Domeniul de definit , ie al ecuat , iei date este D = (2a + 1, ∞). Notˆand
t
2
log (x − 2a − 1) = log 2a+1 (2x + 2a − 1) = t, rezult˘a c˘a x − 2a − 1 = a s , i
a
ˆ
t
2
2
t
t
2x + 2a − 1 = (2a + 1) , deci 2x = 2a + 4a + 2 = (2a + 1) − 2a + 1. Imp˘art , ind
a t 1 t
2
t
prin (2a + 1) obt , inem c˘a 2 + 2a + 4a + 1 = 1. Aceasta
2a + 1 2a + 1
este o ecuat , ie de forma f(t) = 1 cu f strict descresc˘atoare, avˆand solut , ia unic˘a
2
t = 2. Rezult˘a c˘a x = (a + 1) ∈ D este solut , ie unic˘a pentru ecuat , ia dat˘a.
MGO 108. Fie numerele reale a, b s , i c astfel ˆıncˆat
th (a)th (b) + th (b)th (c) + th (c)th (a) = 1
x
e − e −x
(unde th (x) = reprezint˘a tangenta hiperbolic˘a a num˘arului real x).
x
e + e −x
a) Demonstrat ,i c˘a a, b, c < 0 sau a, b, c > 0.

1 2 + th (a) + th (b) + th (c) + th (a)th (b)th (c)
b) Ar˘atat ,i c˘a a + b + c = ln .
2 2 − th (a) + th (b) + th (c) + th (a)th (b)th (c)
Michel Bataille, Frant , a s , i Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania
Solut ,ie. Evident, −1 < th (x) < 1, pentru orice x ∈ R. De asemenea, avem
echivalent , ele: th (x) = 0 ⇔ x = 0; th (x) > 0 ⇔ x > 0; th (x) < 0 ⇔ x < 0.
Not˘am th (a) = u, th (b) = v s , i th (c) = w. Atunci u, v, w ∈ (−1, 1) s , i
uv + vw + wu = 1.

a) Presupunem prin reducere la absurd c˘a numerele a, b, c nu au toate acelas , i
semn. Atunci ar exista dou˘a dintre ele, s˘a zicem a s , i b, astfel ˆıncˆat a ≥ 0 ≥ b. Prin
urmare u ≥ 0 ≥ v. Dac˘a w ≥ 0 ar rezulta c˘a 1 = uv + vw + wu ≤ wu < 1, fals, iar
dac˘a w < 0 ar rezulta c˘a 1 = uv + vw + wu ≤ vw < 1, din nou fals.
1 1 + u 1 1 + v
b) Din th (a) = u rezult˘a c˘a a = ln . Analog, avem b = ln
2 1 − u 2 1 − v
1 1 + w 1 (1 + u)(1 + v)(1 + w)
s , i c = ln . Astfel obt , inem c˘a a + b + c = ln =
2 1 − v 2 (1 − u)(1 − v)(1 − w)
1 2 + (u + v + w + uvw)
ln , ceea ce trebuia demonstrat.
2 2 − (u + v + w + uvw)
∗
MGO 109. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 +z 2 | = |z 1 |+|z 2 |, |z 1 +z 3 | = |z 1 |+|z 3 |
s , i z 2 + z 3 = 2z 1 . Determinat ,i mult ,imea tuturor valorilor posibile pentru num˘arul
z 2 · z 2 + z 3 · z 3
.
z 1 · z 1
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava