Page 18 - RMGO 4

18 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a IX-a

MGO 101. Pentru orice numere reale pozitive a 1 , a 2 , . . . , a n s , i orice num˘ar
natural k mai mare ca 1 are loc inegalitatea

k
k
k
k
(a + n − 1)(a + n − 1) · . . . · (a + n − 1) ≥ n n−k (a 1 + a 2 + . . . + a n ) .
1 2 n
Ardak Mirzakhmedov, Kazahstan
Solut ,ie. Presupunem, f˘ar˘a a restrˆange generalitatea. c˘a a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ a m ≤ 1 ≤
a m+1 ≤ . . . ≤ a n , cu m ∈ {0, 1, . . . , n}. Conform Inegalit˘at ,ii generalizate a lui Ber-
k
k
k
m
m
m
Q a + n − 1 Q a − 1 P a − 1
noulli, pentru m ≥ 1 avem i = 1 + i ≥ 1 + i =
i=1 n i=1 n i=1 n

m
m
m
1 P Q P
k
k
k
a + n − m , deci a + n − 1 ≥ n m−1 a + n − m , (1), iar
n i=1 i i=1 i i=1 i
n k n k n k
i
i
i
Q a + n − 1 Q a − 1 P a − 1
pentru m < n avem = 1 + ≥ 1+ =
i=m+1 n i=m+1 n i=m+1 n
n
n

n
1 P k Q k n−m−1 P k
a + m , deci a + n − 1 ≥ n a + m , (2).
i
i
i
n i=m+1 i=m+1 i=m+1
Din (1) s , i (2) prin ˆınmult , ire rezult˘a c˘a
m n
! !
n

Y k n−2 X k X k
a + n − 1 ≥ n a + n − m a + m , (3),
i
i
i
i=1 i=1 i=m+1
inegalitate valabil˘a s , i pentru m = 0 sau m = n. Scriind n k−2 = (1+1+. . .+1) k−2 ,
conform Inegalit˘at ,ii generalizate a lui H¨older avem
! ! ! k
m n n
X k X k X
k−2
n a + n − m m + a i ≥ a i , (4).
i
i=1 i=m+1 i=1
Din (3) s , i (4) rezult˘a inegalitatea din enunt , .
MGO 102. S˘a se determine valoarea minim˘a a expresiei
3
3
3
2(x + y + z ) + 3xyz
E(x, y, z) =
2
2
2
2
2
x y + xy + y z + yz + z x + zx 2
cˆand x, y, z ∈ (0, ∞).
Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin s , i Sorin Ulmeanu, Pites , ti