Page 15 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 15

MGO 94. Fie ABCD un patrulater convex, T un punct ˆın interiorul s˘au, iar
M, N, P s , i Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA. Dac˘a A AMTQ = a
s , i A CPTN = c, calculat ,i aria patrulaterului ABCD ˆın funct ,ie de a s , i c.

Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. Folosim proprietatea c˘a mediana ˆımparte triunghiul ˆın dou˘a triunghiuri
de arii egale. Notˆand A TMA = A TMB = s 1 , A TNB = A TNC = s 2 , A TPC =
A TPD = s 3 s , i A TQD = A TQA = s 4 , avem A ABCD = 2s 1 + 2s 2 + 2s 3 + 2s 4 =
2(s 1 + s 4 ) + 2(s 2 + s 3 ) = 2a + 2c.

◦
MGO 95. Fie triunghiul ABC cu AB = AC s , i m (^A) = 100 . Se consider˘a
punctul D ˆın semiplanul determinat de dreapta AB s , i care nu cont ,ine punctul C,
◦
astfel ˆıncˆat m (^BCD) = 20 s , i BD = BC. Calculat ,i m˘asura unghiului ADC.
Costel Anghel, Slatina

Solut ,ie. Construim triunghiul echilateral EBC, cu punctul E de aceeas , i parte
a dreptei BC ca s , i punctul A. Atunci dreapta EA este mediatoarea lui [BC],
◦ ˆ
deci este s , i bisectoarea unghiului BEC, deci m (^AEB) = 30 . In triunghiul
◦
◦
◦
isoscel CBD avem m (^CBD) = 180 − 2 · 20 = 140 , deci m (^ABD) =
◦
◦
◦
m (^CBD) − m (^ABC) = 140 − 40 = 100 s , i m (^DBE) = m (^CBD) −
◦
◦
◦
m (^ABE) = 140 − 60 = 80 . Dar BD = BC = BE. Rezult˘a c˘a 4DBE este
◦
180 − 80 ◦
◦
isoscel, deci m (^BED) = = 50 s , i astfel m (^AED) = m (^AEB) +
2
◦
◦
◦
◦
◦
◦
m (^BED) = 30 +50 = 80 . Din m (^ABD)+m (^AED) = 100 +80 = 180 ,
rezult˘a c˘a patrulaterul ABDE este inscriptibil, deci m (^ADB) = m (^AEB) =
◦
◦
◦
◦
30 , s , i astfel m (^ADC) = m (^ADB) − m (^BDC) = 30 − 20 = 10 .
Clasa a VIII-a
MGO 96. Fie a, b, c ∈ Q + astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = a − b + 2. Demonstrat ,i c˘a
p
2
2
2
(a + 2a + 2)(b − 2b + 2)(c + 1) ∈ Q.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. Egalitatea dat˘a poate fi scris˘a sub forma (a+1)(b−1)+(b−1)c+c(a+1) = 1.
2
2
Notˆand S = (a + 1)(b − 1) + (b − 1)c + c(a + 1), avem a + 2a + 2 = (a + 1) + 1 =
2
2
2
2
(a + 1) + S = (a + b)(a + c + 1), b − 2b + 2 = (b − 1) + 1 = (b − 1) + S =
2
2
(a + b)(b + c − 1) s , i c + 1 = c + S = (b + c − 1)(a + c + 1). Rezult˘a c˘a
p
2
2
2
(a + 2a + 2)(b − 2b + 2)(c + 1) = (a + b)(a + c + 1)|b + c − 1| ∈ Q.