Page 13 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 13

b) Deoarece (M32 + i) 2019 + (M32 − i) 2019 = M32, rezult˘a c˘a 1 2019 + 2 2019 +
. . . + 31 2019 + 32 2019 = M32, 33 2019 + 34 2019 + . . . + 63 2019 + 64 2019 = M32, . . . ,
1985 2019 + 1986 2019 + . . . + 2015 2019 + 2016 2019 = M32, deci A = M32 + 2017 2019 +
3
2018 2019 + 2019 2019 = M32 + 1 2019 + 2 2019 + 3 2019 = M32 + 1 + 3 = M32 + 28,
prin urmare A = . . . 11100 (2) .

∗
MGO 88. Se consider˘a numerele a, b, c, d ∈ Q astfel ˆıncˆat
a 3b 4c 5d
= = = 6= −1.
3b + 4c + 5d a + 4c + 5d a + 3b + 5d a + 3b + 4c

1 1 1 1

Calculat ,i (a + b + c + d) + + + .
a b c d
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Solut ,ie. Adunˆand num˘ar˘atorii la numitori, se deduce c˘a a = 3b = 4c = 5d. Astfel
1 1 1 1 1 1 1 1 1391

(a+b+c+d) + + + = a 1 + + + · ·(1+3+4+5) = .
a b c d 3 4 5 a 60
MGO 89. Fie ABC un triunghi echilateral s , i punctele D ∈ (BC), P ∈ (AB)
astfel ˆıncˆat m (^BAD) = m (^ADP) = x. Determinat ,i valoarea lui x astfel ˆıncˆat
perpendiculara din punctul P pe dreapta AD s˘a treac˘a prin mijlocul laturii AC.

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

Solut ,ie. Fie M mijlocul laturii AC. Triunghiul APD este isoscel s , i PM ⊥ AD,
deci PM este mediatoarea lui [AD]. Avem MD = MA = MC, deci triunghiul
◦
ADC este dreptunghic ˆın D. Rezult˘a c˘a x = 30 .
◦
MGO 90. Fie triunghiul ABC cu AB = AC s , i m (^A) = 80 . Se consider˘a
punctul D ˆın semiplanul determinat de dreapta AB s , i care nu cont ,ine punctul C,
◦
astfel ˆıncˆat m (^BCD) = 40 s , i CD = BC. Calculat ,i m˘asura unghiului BAD.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Solut ,ie. Construim triunghiul echilateral EBC, cu punctul E de aceeas , i parte a
dreptei BC ca s , i punctul A. Atunci dreapta EA este mediatoarea lui [BC] s , i CE =
◦
BC = CD. Rezult˘a c˘a 4DCE este isoscel. Cum m (^ACD) = m (^ACE) = 10 ,
rezult˘a c˘a CA este bisectoarea unghiului DCE, deci este s , i mediatoarea lui [DE]
◦
◦
◦
◦
Astfel AD = AE. Rezult˘a c˘a m (^DAC) = m (^EAC) = 180 −(30 +10 ) = 140 ,
◦
◦
◦
prin urmare m (^BAD) = m (^DAC) − m (^BAC) = 140 − 80 = 60 .