Page 12 - RMGO 4

12 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

2
Solut ,ie. a) Cel mai mic p˘atrat perfect din s , irul dat este 1024 = 32 , iar cel mai
2
mare 1936 = 44 , deci avem 44 − 31 = 13 p˘atrate perfecte.
b) Avem 1000 = 76·13+12, 1001 = 77·13, 1002 = 77·13+1, . . ., 2015 = 155·13,
2016 = 155 · 13 + 1, . . ., 2019 = 155 · 13 + 4. De la 1001 la 2014 sunt 1014 : 13 = 78
grupe de cˆate 13 resturi, cu suma fiec˘arei grupe 0 + 1 + 2 + . . . + 12 = 78. Astfel
suma tuturor resturilor este 12 + 78 · 78 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 6106.

MGO 85. Cˆate numere de 3 cifre au proprietatea c˘a prin adunare cu r˘asturnatul
se obt ,ine un num˘ar de 4 cifre identice?

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
Solut ,ie. Avem abc + cba = xxxx, adic˘a 101a + 20b + 101c = x · 11 · 101. Rezult˘a
c˘a 20b = M101, de unde b = 0. Atunci a + c = 11x, deci x = 1 s , i a + c = 11.
Obt , inem numerele 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803 s , i 902, deci sunt 8 numere cu
proprietatea din enunt , .

Clasa a VI-a

MGO 86. Fie A o mult ,ime de numere naturale care satisface condit ,iile:
i) 1 ∈ A;

ii) Dac˘a x ∈ A, atunci 5x ∈ A;
iii) Dac˘a 7x − 1 ∈ A, atunci x ∈ A.

Ar˘atat ,i c˘a 13 ∈ A.
Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie. Din i) s , i ii) rezult˘a c˘a 5, 25, 125 ∈ A. Cum 125 = 7 · 18 − 1 ∈ A, din iii)
rezult˘a c˘a 18 ∈ A, deci conform ii) s , i 90 = 5 · 18 ∈ A. Cum 90 = 7 · 13 − 1 ∈ A,
din iii) rezult˘a c˘a 13 ∈ A.

MGO 87. a) Determinat ,i ultimele cinci cifre ale num˘arului 7 2019 , atunci cˆand
este scris ˆın sistemul binar.
b) Aceeas , i cerint ,˘a pentru num˘arul N = 1 2019 + 2 2019 + . . . + 2019 2019 .

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
2
4
8
Solut ,ie. a) Avem, succesiv: (2k + 1) = M8 + 1, (2k + 1) = M16 + 1, (2k + 1) =
3
M32 + 1. Rezult˘a c˘a (2k + 1) 2019 = (2k + 1) 8·252+3 = (M32 + 1)(2k + 1) .
3
Astfel 7 2019 = (M32 + 1) · 7 = M32 + 23. Cum 23 = 10111 (2) , rezult˘a c˘a
7 2019 = . . . 10111 (2) .