Page 17 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 17

MGO 100. Fie a > 0 un num˘ar real fixat. Determinat ,i valorile x ∈ R pentru care
0
0
0
0
exist˘a dou˘a piramide V ABCD s , i V A B C D astfel ˆıncˆat ABCD este un p˘atrat,
0
0
0
0
0
0
0
◦
0
0
A B C D este un romb, AB = A B = a, m (^B A D ) = 60 , triunghiurile V AB
0
0
0
0
s , i V A B sunt echilaterale, iar perimetrele triunghiurilor V CD s , i V C D sunt
egale fiecare cu x.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Fie M mijlocul lui [AB] s , i N mijlocul lui [CD]. Punctul V apart , ine
planului mediator al lui [AB], care este s , i planul mediator al lui [CD], deci
2
V N ⊥ CD. Fie t = m (^V MN). Conform Teoremei cosinusului avem V N =
3a 2 √
2
2
2
V M + MN − 2V M · MN cos t = + a − a 2 3 cos t. Aplicˆand Teorema lui
4
r
a 2 p √
2
Pitagora obt , inem c˘a V C = V D = V N + = a 2 − 3 cos t, prin urmare
4
√
q
x = P 4V CD = a 1 + 2 2 − 3 cos t .
◦
◦
Cum t ia toate valorile din intervalul (0 , 180 ), deci cos t ia toate valorile din
intervalul (−1, 1), deducem c˘a x = P 4V CD ia toate valorile din intervalul
!
√ √
q q
a 1 + 2 2 − 3 , a 1 + 2 2 + 3
√ √
√ √
= a 1 + 6 − 2 , a 1 + 6 + 2 , (1).
0
0
0
Pe de alt˘a parte, punctele V s , i D apart , in planului mediator al lui [A B ],
0
0
0
0
0
0
0
0
deci avem V D ⊥ A B , prin urmare avem s , i V D ⊥ C D . Fie t = m (^V MD ).
0 2
0 2
0
2
0
Conform Teoremei cosinusului avem V D = V M + MD − 2V M · MD cos t =
√
3a 2 3a 2 a 3 √
0
0
0
2 · − 2 · · cos t , deci V D = · 2 − 2 cos t . Aplicˆand Teorema lui
4 4 2
p a √
0
0 2
0
2
Pitagora obt , inem c˘a V C = V D + a = · 10 − 6 cos t , prin urmare
2
a √ √
0
x = P 4V C D = 2 + 6 − 6 cos t + 10 − 6 cos t 0 .
0
0
2
0
0
◦
◦
Cum t ia toate valorile din intervalul (0 , 180 ), deci cos t ia toate valorile din
intervalul (−1, 1), deducem c˘a x = P 4V C D ia toate valorile din intervalul
0
0
√
2a, a 3 + 3 , (2).
√
√ √
Din (1) s , i (2), prin intersect , ie rezult˘a c˘a x ∈ a 1 + 6 − 2 , a 3 + 3 .