Page 22 - RMGO 4

22 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

∗
Solut ,ie. Cum z 1 , z 2 , z 3 ∈ C , egalitatea |z 1 + z 2 | = |z 1 | + |z 2 | are loc dac˘a s , i numai
∗
dac˘a exist˘a k ∈ R astfel ˆıncˆat z 2 = kz 1 , iar egalitatea |z 1 + z 3 | = |z 1 | + |z 3 | are
+
∗
loc dac˘a s , i numai dac˘a exist˘a p ∈ R + astfel ˆıncˆat z 3 = pz 1 . Dar z 2 + z 3 = 2z 1 ,
z 2 · z 2 + z 3 · z 3
deci k + p = 2, adic˘a p = 2 − k, cu k ∈ (0, 2). Astfel obt , inem =
z 1 · z 1
2
|z 2 | + |z 3 | 2 2 2 2 2 2 2
= k + p = k + (2 − k) = 2k − 4k + 4 = 2(k − 1) + 2. Avem
|z 1 | 2
2
2
echivalent , ele k ∈ (0, 2) ⇔ k−1 ∈ (−1, 1) ⇔ (k−1) ∈ [0, 1) ⇔ 2(k−1) +2 ∈ [2, 4),
deci mult , imea cerut˘a este intervalul [2, 4).
MGO 110. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
2
2
2
2
cos x + cos 2x · sin 3x + sin 4x = 1.
Daniel Jinga, Pites , ti
2
2
2
2
Solut ,ia 1. Ecuat , ia dat˘a devine, succesiv: cos 2x · sin 3x + sin 4x − sin x = 0;
h
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
cos 2x·sin x 3 − 4 sin x +16 sin x·cos x·cos 2x−sin x = 0; sin x cos 2x(1+
i
2
2
2
2 cos 2x) + 8 cos 2x(1 + cos 2x) − 1 = 0. Cazul 1. sin x = 0, cu solut , ia x = kπ,
2
2
2
k ∈ Z. Cazul 2. t (1 + 2t) + 8t (1 + t) − 1 = 0, unde t = cos 2x ∈ [−1, 1].
3
2
2
4
Efectuˆand calculele, ecuat , ia devine 4t +12t +9t −1 = 0, adic˘a 2t + 3t 2 −1 =
1

2

2
0, adic˘a 2t + 3t + 1 2t + 3t − 1 = 0, avˆand solut , iile t 1 = −1, t 2 = − ,
√ √ 2
−3 + 17 −3 − 17
t 3 = ∈ [−1, 1], t 4 = 6∈ [−1, 1]. Astfel mult , imea solut , iilor
4 4 n π o n π o

ecuat , iei date este S = {kπ | k ∈ Z} ∪ + kπ k ∈ Z ∪ ± + kπ k ∈ Z ∪

√ 2 3
( )
1 17 − 3
± arccos + kπ k ∈ Z .

2 4
2
2
Solut ,ia 2 (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Putem scrie, echivalent, cos 2x · sin 3x =
2
2
2
2
sin x−sin 4x, adic˘a cos 2x·sin 3x = − sin 3x·sin 5x, prin urmare sin 3x = 0 sau
2
cos 2x · sin 3x = − sin 5x. Pentru a doua ecuat , ie, cum sin 3x 6= 0, obt , inem, suc-
sin 5x sin 3x + sin 5x 2 sin 4x cos x
2
2
2
2
cesiv: cos 2x = − ; sin 2x = ; 4 sin x cos x = ,
sin 3x sin 3x sin 3x
sin 4x
2
deci cos x = 0 sau 2 sin x cos x = . Ultima ecuat , ie devine, succesiv:
sin 3x
sin x sin 2x sin 3x = sin 4x; sin x sin 2x sin 3x = 2 sin 2x cos 2x, cu posibilit˘at , ile
2
4
sin 2x = 0 sau sin x sin 3x = 2 cos 2x, echivalent˘a cu 4 sin x − 7 sin x + 2 = 0, cu
r √
7 − 17
ˆ
solut , ia posibil˘a sin x = ± . In concluzie, mult , imea solut , iilor ecuat , iei
8
date este reuniunea solut , iilor ecuat , iilor sin 3x = 0, cos x = 0, sin 2x = 0 s , i
r √
7 − 17
sin x = ± . Rezolvarea acestora conduce la aceeas , i mult , ime S ca la
8
solut , ia anterioar˘a.