Page 23 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 23

Clasa a XI-a

6
MGO 111. Fie A ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat A = A + I n . Demonstrat ,i c˘a matricea
2
A + A + I n este inversabil˘a.
Cristinel Mortici, Viforˆata
5
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Avem A(A − I n ) = I n , deci det A 6= 0. Din
2
2
3
6
3
A = A − I n = (A − I n )(A + I n ) = (A − I n )(A + A + I n )(A + I n )(A − A + I n )
2
2
s , i det A 6= 0 rezult˘a c˘a det(A + A + I n ) 6= 0, deci matricea A + A + I n este
3
5
3
inversabil˘a (mai mult, se deduce c˘a toate matricele A, A − I n , A − I n , A + I n ,
2
2
A − I n , A + A + I n , A + I n , A − A + I n sunt inversabile).
∗
MGO 112. Fie a, b ∈ C astfel ˆıncˆat a 6= ±b s , i A, B ∈ M 4 (C) astfel ˆıncˆat
det(aAB + bBA) = det(aBA + bAB). Demonstrat ,i c˘a

det (x + a)AB + (b − x)BA = det (x + a)BA + (b − x)AB , ∀x ∈ C.
Daniel Jinga, Pites , ti

Solut ,ie. Fie f : C → C, f(x) = det (x + a)AB + (b − x)BA − det (x + a)BA +

(b−x)AB = det aAB +bBA+x(AB −BA) −det aBA+bAB +x(BA−AB) .
Deoarece det(AB − BA) = det(BA − AB) s , i det(aAB + bBA) = det(aBA + bAB)
2
3
rezult˘a c˘a f are forma f(x) = αx +βx +γx, cu α, β, γ ∈ C. Evident, avem f(0) =

b − a
0 s , i f = 0. De asemenea, f(b) = det (b + a)AB − det (b + a)BA = 0
2
b − a

s , i f(−a) = det (b + a)BA − det (b + a)AB = 0. Cum numerele 0, , b s , i
2
−a sunt distincte dou˘a cˆate dou˘a, iar f este funct , ie polinomial˘a de grad cel mult
3, rezult˘a c˘a f = 0 s , i problema este rezolvat˘a.
MGO 113. Se consider˘a matricea A ∈ M n (C), n ≥ 2, astfel ˆıncˆat det A = 0 s , i
∗
∗
∗ 2
det(I n + A ) = 1, unde A este matricea adjunct˘a a lui A. Ar˘atat ,i c˘a (A ) = O n .
Marin Ionescu, Pites , ti
Solut ,ie. Deoarece det A = 0, avem rang A ≤ n − 1. Dac˘a rang A = n − 2, atunci
∗
∗ 2
∗
A = O n , deci s , i (A ) = O n . Fie acum rang A = n − 1. Avem AA = det A · I n =
∗
∗
O n , deci din Inegalitatea lui Sylvester rang A+rang A ≤ n+rang (AA ) obt , inem
 
b 1 0 . . . 0
 b 2 0 . . . 0 
∗ ∗ ∗  
rang A ≤ 1. Rezult˘a c˘a A are forma A = BC, cu B =  .  s , i
 . . 
b n 0 . . . 0
 
c 1 c 2 . . . c n
 0 0 . . . 0  ∗
C =   , unde b 1 , b 2 , . . . , b n , c 1 , c 2 , . . . , c n ∈ C. Avem tr A = t,
. . .
 
0 0 . . . 0