Page 28 - RMGO 4

28 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

valorile reale ale lui r pentru care ecuat , ia f(x) = 0 are patru solut , ii, utilizˆand
9
0
2
S , irul lui Rolle. Avem f (x) = 3x − 18 − 2 . R˘ad˘acinile derivatei sunt
√ (x − 4) √
x 1 = x 2 = 3 s , i x 3,4 = 1 ± 2 3. Avem lim f(x) = −∞, f(1 − 2 3) = −r − 44,
x→−∞ √
f(3) = −r − 108, f s (4) = −∞, f d (4) = ∞, f(1 + 2 3) = −r − 44, lim f(x) = ∞,
x→∞
deci S , irul lui Rolle este (−, sgn (−r − 44), sgn (−r − 108), − | +, sgn (−r − 44), +).
Obt , inem c˘a ecuat , ia are 4 solut , ii reale doar ˆın urm˘atoarele dou˘a cazuri.
Cazul 1. r = −108, cˆand r˘ad˘acinile sunt x 1 = x 2 = x 3 = 3, x 4 = −5.
√ √
Cazul 2. r = −44, cˆand r˘ad˘acinile sunt x 1 = x 2 = 1 − 2 3, x 3 = x 4 = 1 + 2 3.
√ √ √ √
Deci solut , iile sistemului dat sunt (3, 3, 3, −5), (1−2 3, 1−2 3, 1+2 3, 1+2 3)
s , i permut˘arile lor.

Not˘a. Domnul Alexandru Dan Petrescu din Bucures , ti a propus o rezolvare
asem˘an˘atoare ˆın prima parte, dar bazat˘a apoi pe reprezentarea grafic˘a a funct , iei
3
4
2
x − 4x − 18x + 297
din membrul stˆang al ecuat , iei = r, din care s-au observat
x − 4
cele dou˘a cazuri ˆın care ecuat , ia are patru solut , ii reale, cazul r = −44 fiind rezolvat
apoi algebric prin substitut , ia x = y + 1, iar cazul r = −108 cu ajutorul primelor
dou˘a derivate.
Solut ,ia 2 (Istvan Biro, Sˆannicolau Mare). Notˆand a = 4x+1, b = 4y +1, c = 4z +1

 x + y + z + t = 0
 2 2 2 2
x + y + z + t = 3
s , i d = 4t + 1, sistemul devine , echi-
9
 4 4 4 4 3 3 3 3
x + y + z + t + x + y + z + t =

4

 x + y + z = −t

 3
2
 xy + xz + yz = t −
valent cu 2 . Astfel x, y s , i z sunt r˘ad˘acinile ecuat , iei
3t − t +
 3 9 9

xyz =
 2 4

4t − 3
3 9 9
3 3t − t + t
2
2
3
X + tX + t − X − 2 4 = 0. Notˆand X = m − rezult˘a
2 4t − 3 3
2
4t − 9 7t 3 3t 2 t 45 9
3
c˘a m + · m − + + − + = 0. Ecuat , ia va
6 27 4 16 64 64(4t − 3)
avea toate r˘ad˘acinile reale dac˘a s , i numai dac˘a are discriminantul D ≤ 0, adic˘a
√
√
2
2
(2t − 1) (2t + 3) 2 4t − 3 2 ( 3 3 1 3 )
D = ≤ 0, deci t ∈ − , − , , . Conform
576(4t − 3) 2 2 2 2 2
Formulelor lui Cardano obt , inem urm˘atoarele cazuri.
3 1
Cazul 1. t = − . Atunci m 1 = m 2 = m 3 = 0, deci X 1 = X 2 = X 3 = , deci
2 2
a = b = c = 3, d = −5.
√ √ √ √
3 2 3 3 3
Cazul 2. t = − . Atunci m 1 = − , m 2 = m 3 = , deci X 1 = m 1 + ,
2 3 3 6