Page 31 - RMGO 4

ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE
,

ˆ
In leg˘atur˘a cu Problema 27710 din G.M.-B nr.

6-7-8/2019

Daniel JINGA 1

Problema 27710 din Gazeta Matematic˘a Seria B nr. 6-7-8/2019, propus˘a la
Clasa a X-a de Ric˘a Zamfir, Bucures , ti, are urm˘atorul enunt , :
S˘a se arate c˘a ˆın orice triunghi exist˘a inegalitatea

1 1 1 1
√ √ + √ √ + √ √ ≤ .
2
2
2
r a + r b r b + r c r c + r a 4r
Ne propunem s˘a generaliz˘am problema s , i s˘a g˘asim s , i o inegalitate de sens
contrar. Mai precis demonstr˘am urm˘atorul rezultat.
ˆ
Propozit , ia 1. In orice triunghi au loc inegalit˘at ,ile
9 1 1 1 1
≤ √ √ + √ √ + √ √ ≤ ,
n
n
n
n
n
2 (4R + r) n r a + n r b n r b + n r c n r c + n r a 2 · r
pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.
√ √ p √
Demonstrat¸ie. n r a + n r b ≥ 2 · n r a r b , cu Inegalitatea mediilor.
√ n √ q 2 n
n
n
Atunci n r a + √ ≥ 2 · r a r b = 2 · S = √ 2 ·S .
n
r b
(p−a)(p−b) (p−a)(p−b)
p 2p−a−b c
Tot cu Inegalitatea mediilor, (p − a)(p − b) ≤ = .
2 2
√ √ n n+1
c
Atunci n r a + n r b ≥ 2 ·S . Se obt , ine √ 1 √ n ≤ n+1 , de unde prin
c ( n r a+ n r b) 2 ·S
sumare rezult˘a
X 1 1 p 1
√ √ ≤ · 2p = =
n
n
n
n r a + n r b 2 n+1 · S 2 · p · r 2 · r
s , i inegalitatea din dreapta este demonstrat˘a.
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, jinga.daniel@yahoo.com
31