Page 33 - RMGO 4

O demonstratie inductiv˘a a Inegalit˘atii mediilor
,
,

˘
Dorin MARGHIDANU 1

ˆ In acest˘a scurt˘a not˘a este prezentat˘a o nou˘a demonstrat , ie, inductiv˘a, a Inega-
lit˘at ,ii mediilor – obt , inut˘a prin utilizarea unei inegalit˘at , i analitice simple.

Se cunosc numeroase demonstrat , ii pentru inegalitatea clasic˘a dintre media arit-
a 1 + a 2 + . . . + a n √
metic˘a A n [a] := s , i media geometric˘a G n [a] := n a 1 · a 2 · . . . · a n
n
a numerelor a i ≥ 0, i = 1, n (vezi, de exemplu, [1] – [18]).
ˆ In cele ce urmeaz˘a vom da o nou˘a demonstrat , ie - prin induct , ie matematic˘a.

Pentru aceasta avem nevoie ˆın mod esent , ial s , i de urm˘atorul rezultat ajut˘ator,
obt , inut prin simple considerat , ii de analiz˘a matematic˘a.
∗
Lema 1. Dac˘a a > 0, x > 0 s , i m ∈ N , atunci
1
m+1
a m
m · + x ≥ (m + 1)a, (1)
x
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x = a.

1
m+1 m+1 1
Demonstrat¸ie. Fie, f : (0, ∞) → R, f(x) = m· a m +x = m·a m ·x − m +x.
x
m+1 m+1
m+1
0
Avem f (x) = 1 − a m · x − m+1 x m − a m .
m =
m+1
x m
0
Cum f (x) = 0 dac˘a s , i numai dac˘a x = a, iar cum evident min f(x) = f(a) =
x>0
(m + 1)a, rezult˘a inegalitatea s , i condit , ia de egalitate din enunt , .
Observat ,ia 1. Inegalitatea din lem˘a are loc chiar s , i pentru m real, strict pozitiv.
Suntem acum ˆın m˘asur˘a s˘a enunt , ˘am s , i s˘a demonstr˘am urm˘atoarea:
∗
Propozit , ia 1 (Inegalitatea mediilor). Pentru orice n ∈ N , x k ≥ 0, k = 1, n,
n
s , i vectorul x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R + are loc inegalitatea
x 1 + x 2 + . . . + x n √
A n [x] := ≥ n x 1 · x 2 · . . . · x n =: G n [x], (2)
n
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x 1 = x 2 = . . . = x n .
1
Profesor dr., Colegiul Nat , ional ,,Al. I. Cuza”, Corabia, d.marghidanu@gmail.com

33