Page 38 - RMGO 4

˘
38 Florin STANESCU
2 2
= 2 det A + B + det (AB + BA) ,
deoarece det (X + Y ) + det (X − Y ) = 2 (det X + det Y ). Cum det (AB + BA) ≤
0, concluzia este imediat˘a.
2
2
Aplicat , ia 4. Fie A, B, C ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat det A + B + C 2 ≤ 0. S˘a se
demonstreze c˘a
2
2
2
2
2
2
det −A + B + C 2 + det A − B + C 2 + det A + B − C 2 ≥ 0.
Solut ,ie. Utilizˆand identitatea
det (X + Y + Z)+det X+det Y +det Z = det (X + Y )+det (Y + Z)+det (Z + X) ,
2
2
2
2
2
2
∀ X, Y, Z ∈ M 2 (R), pentru X = −A + B + C , Y = A − B + C s , i Z =
2
2
2
A + B − C obt , inem:
2
2
2
2
2
2
det A + B + C 2 + det −A + B + C 2 + det A − B + C 2 +
2
2
2
2
2

det A + B − C 2 = 4 det A + det B + det C .
2
2
Cum det A + B + C 2 ≤ 0, concluzia se impune.
Aplicat , ia 5. Dac˘a A, B ∈ M 2 (R) s , i det (AB − BA) = 0, atunci au loc urm˘atoarele
inegalit˘at ,i:
2
2
a) det A − B 2 ≤ (det A + det B) ;
2
2
b) det A + B 2 ≥ (det A − det B) .
Solut ,ie. a) Utilizˆand identitatea det (A + B)−det A−det B = tr A·tr B −tr (AB),
putem scrie:
2
(det A + det B) − [tr (AB) − tr A · tr B] 2
2
2
= det A + 2 det (AB) + det B − [det (A + B) − det A − det B] 2
2
= 2 det (A + B) (det A + det B) − det (A + B)
det (A + B) + det (A − B)
2
= 2 det (A + B) · − det (A + B)
2
2
2
= det [(A − B) (A + B)] = det A − B + AB − BA
2
= det A − B 2 + det (AB − BA) ,
2 2
deoarece tr (AB − BA) = tr (A − B )(AB − BA) = 0. Prin urmare,
2
2
2
det A − B 2 = (det A + det B) −[tr (AB) − tr A · tr B] −det (AB − BA) . (1)
2
2
Rezult˘a c˘a det A − B 2 ≤ (det A + det B) .
2
ˆ
2
b) Inlocuind ˆın (1) pe B cu iB obt , inem c˘a det A + B 2 = (det A − det B) +
2
2
[tr (AB) − tr A · tr B] + det (AB − BA) ≥ (det A − det B) .