Page 39 - RMGO 4

Inegalit˘at , i pentru determinant , ii matricelor de ordinul 2 39

Aplicat , ia 6. Dac˘a A, B ∈ M 2 (R), s˘a se demonstreze ca are loc inegalitatea:
2
det A + B 2 ≥ det (AB − BA) .

Solut ,ie. Avem:
2
0 ≤ |det (A + iB)| = det [(A + iB) (A − iB)]
2 2 2 2
= det A + B + i (BA − AB) = det A + B − det (AB − BA) ,

2
2
deoarece tr A + B 2 · tr (AB − BA) = 0 = tr A + B 2 (AB − BA) . Deci
2
det A + B 2 ≥ det (AB − BA) .
Aplicat , ia 7. Fie A, B ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat det (AB − BA) ≤ 0. Ar˘atat ,i c˘a:

1
det (I 2 + AB) ≤ det I 2 + (AB + BA) .
2
Solut ,ie. Consider˘am funct , ia
2
f (x) = det [I 2 + AB + x (BA − AB)] = det (I 2 + AB)+αx+det (AB − BA)·x ,

α, x ∈ R. Avem f (0) = det (I 2 + AB) = det (I 2 + BA) = f (1). Astfel, cum f este
1

concav˘a, rezult˘a c˘a f (0) ≤ f 1 , deci det (I 2 + AB) ≤ det I 2 + (AB + BA) .
2 2
Aplicat , ia 8. Se consider˘a matricele A, B, C ∈ M 2 (R) care comut˘a dou˘a cˆate
2
2
dou˘a, iar det (AB + BC + CA) < 0. Ar˘atat ,i c˘a det A + B + C 2 ≥ 0.
2
2
2

Solut ,ie. Consider˘am funct , ia f (x) = det A + B + C + x (AB + BC + CA) =
2
2
2
det A + B + C 2 + αx + det (AB + BC + CA) · x , α, x ∈ R. Avem f(−1) =
2
2
2
2
2

det A + B + C − AB − BC − CA = det A + εB + ε C A + ε B + εC
2
3
2
= det A + εB + ε C ≥ 0, unde ε ∈ C \ R, ε = 1. Mai departe, avem s , i

2
f(2) = det (A + B + C) ≥ 0. Cum f este concav˘a, rezult˘a c˘a s , i f(0) ≥ 0, de unde
2
2
obt , inem c˘a det A + B + C 2 ≥ 0.
Aplicat , ia 9. Fie A, B ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat det (AB + BA) ≤ det (AB − BA) .
2
2
2
S˘a se arate c˘a det A + B 2 ≥ det A + det B.
Solut ,ie. Avem
2
2
2

det A + B 2 − det (AB − BA) = det A + B + i (BA − AB)
2 2
= det (A + iB) det (A − iB) = (det A − det B) + [tr A · tr B − tr (AB)]
det(AB − BA) + det(AB + BA) 2
2
2
= det A + det B − + [tr A · tr B − tr (AB)] ,
2
det(AB − BA) − det(AB + BA)
2
2
2

prin urmare det A + B 2 −det A−det B = +
2
2
[tr A · tr B − tr (AB)] ≥ 0.