Page 44 - RMGO 4

44 Leonard Mihai GIUGIUC s , i Do Huu Duc THINH

Cu aceasta, demonstrarea lant , ului de 5 inegalit˘at , i avˆand drept capete termenii
din Teorema lui Turkevich este complet˘a.

ˆ In ˆıncheiere, propunem cititorilor spre studiu urm˘atoarele probleme, pentru
a 1 , . . . , a 4 ≥ 0:
1) Consider˘am urm˘atoarele rafin˘ari ale Inegalit˘at , ii lui Turkevich:

i) (Vietnam, 1997)

! 2β−2
4 4 4 4 4
P 4 Q P 4 Q β P 2 2
a + 2 a i ≥ a + 2 · a i ≥ a a ,
i i 4 i j
i=1 i=1 i=1 P 2 i=1 1≤i<j≤4
a i
i=1
unde 1 < β ≤ 2;
ii) (L.M. Giugiuc s , i D.H.D. Thinh, 2020)
!
4 4 4 4
P 4 Q 1 P 2 P 2 P P 2 2
a + 2 a i ≥ 12 a i 3 a + a i a j ≥ a a .
i
i
i j
i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4 1≤i<j≤4
Exist˘a o relat , ie general˘a de ordine ˆıntre termenii mediani ai celor dou˘a rafin˘ari?
ˆ In caz afirmativ, determinat , i β.
2) Este adev˘arat˘a inegalitatea
√
3
2
2
4
4
2
2
4
2
4 4 4
3 a + b + c + 3 a b c ≥ a + b + c 2 a + b + c + ab + bc + ca
pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c?
3) Consider˘am urm˘atoarele lant , uri de inegalit˘at , i:
2

4 4 4 4 4
P P 3 Q P 2 Q P 2 2
a i a + 2 a i ≥ a + 2 a i ≥ 3 a a ;
i i i j
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4
4 4 4 4 4

P P 3 Q 1 P 2 P 2 P P 2 2
a i a +2 a i ≥ a 3 a + a i a j ≥ 3 a a .
i 4 i i i j
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4 1≤i<j≤4
Exist˘a o relat , ie general˘a de ordine ˆıntre termenii mediani ai celor dou˘a lant , uri?
Bibliografie
[1] https://www.ams.org/journals/proc/2012-140-03/S0002-9939-2011-10986-9/
S0002-9939-2011-10986-9.pdf
[2] https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/059_06_JIPAM/059_06_www.pdf?fbclid=
IwAR0vNeJQIMPHu1l0prIUVXiYmdCS3Dh0tcmBnKiBUCFMeLmbpOo8hEz6W_s