Page 41 - RMGO 4

O rafinare a Inegalit˘atii lui Turkevich
,

1
Leonard Mihai GIUGIUC s , i Do Huu Duc THINH 2

ˆ In anul 1979, matematicienii rus , i V. Senderov s , i E. Turkevich au publicat ˆın
revista Kvant urm˘atorul rezultat:
4 4
P 4 Q P 2 2
Dac˘a a 1 , . . . , a 4 ≥ 0, atunci a + 2 a i ≥ a a .
i
i j
i=1 i=1 1≤i<j≤4
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a toate numerele sunt egale sau unul
este nul s , i celelalte trei sunt egale.
Ulterior, acest rezultat a c˘ap˘atat statutul de Teorema lui Turkevich.

Cˆat , iva ani mai tˆarziu, matematicianul maghiar Jacob Suranyi publica urm˘atorul
rezultat, cunoscut ast˘azi drept Teorema lui Suranyi:

n n n n
P n Q P P n−1
Dac˘a a 1 , . . . , a n ≥ 0, n ≥ 2 atunci (n−1) a +n a i ≥ a i a i .
i
i=1 i=1 i=1 i=1
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a toate numerele sunt egale sau unul
este nul s , i celelalte n − 1 sunt egale.
Ne vom opri la cazul n = 4 al Teoremei lui Suranyi. Inegalitatea lui Suranyi
rafineaz˘a inegalitatea lui Turkevich:
4 4 4 4 4

P 4 Q P P 3 Q P 2 2
3 a + 2 a i ≥ a i a i + 2 a i ≥ 3 a a .
i
i j
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4
ˆ In vara anului 2020, Leonard Mihai Giugiuc public˘a ˆın revista Recreat ,ii Mate-
matice o rafinare a inegalit˘at , ii lui Suranyi: Dac˘a a 1 , . . . , a 4 ≥ 0, atunci
2

4 4 4 4
P 4 Q Q 1 P P 2
3 a + 2 a i ≥ 18 a i + · a i (a i − a j )
i 3
i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4

4 4 4
P P 3 Q
≥ a i a + 2 a i .
i
i=1 i=1 i=1
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a toate numerele sunt egale sau unul
este nul s , i celelalte trei sunt egale.
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
2
Student, University of Economics Ho Chi Minh City, Vietnam, thinh06032001@gmail.com
41