Page 40 - RMGO 4

˘
40 Florin STANESCU
3
2

2
Aplicat , ia 10. Fie A ∈ M 2 (R). S˘a se arate c˘a det A + A + I 2 ≥ (1−det A) .
4
Solut ,ie. Consider˘am λ 1 , λ 2 ∈ C valorile proprii ale matricei A. Astfel, putem scrie:
3 3
2
2
2
2

det A + A + I 2 ≥ (1 − det A) ⇔ (λ + λ 1 + 1)(λ + λ 2 + 1) ≥ (1 − det A) 2
1
2
4 4
3
2
2
⇔ (λ 1 λ 2 ) + λ 1 λ 2 (λ 1 + λ 2 ) + (λ 1 + λ 2 ) − λ 1 λ 2 + λ 1 + λ 2 + 1 ≥ (1 − det A) 2
4
3 3 3 2
2
2
⇔ det A + det A · tr A + tr A − det A + tr A + 1 ≥ − · det A + · det A
4 2 4
2
⇔ (det A + 2tr A + 1) ≥ 0,
ceea ce este adev˘arat.
Bibliografie
[1] Gh. Andrei, C. Caragea, Gh. Bordea, Algebr˘a pentru concursurile de admitere s ,i
olimpiade s ,colare, Editura Topaz, Constant , a, 1993.
[2] M. Andronache, R. Gologan, D. Schwarz, D. S , erb˘anescu, Olimipiada de matematic˘a
2006-2010, Editura Sigma, Bucures , ti, 2010.
[3] A. Chites , , G. Dospinescu, A. Ismail, G. Kreindler, C. Popa, C. Raicu, A. Zahariuc,
Probleme alese de matematic˘a pentru preg˘atirea Olimpiadei Nat ,ionale, Editura Gil,
Zal˘au, 2010.

[4] G.H. Golub, C.F. Van Loan, Calculul Matriceal, trad. de A. Cipu s , i M. Cipu, Editura
Theta, Bucures , ti, 2005.

[5] F. St˘anescu, Probleme de calcul matriceal. Olimpiade, Concursuri s ,colare s ,i Bacalau-
reat, Editura Cartea Romˆaneasc˘a Educat , ional, Pites , ti, 2018.

[6] F. St˘anescu, Utilitatea unei formule ˆın rezolvarea unor probleme de calcul matriceal,
RMGO, nr. 1/2019, pg. 23-26.