Page 37 - RMGO 4

Inegalit˘ati pentru determinantii matricelor de
,
,
ordinul 2

˘
Florin STANESCU 1

ˆ In acest articol sunt prezentate inegalit˘at , i referitoare la determinant , ii matricelor
din M 2 (R). Vor fi folosite atˆat rezultate care privesc inegalit˘at , ile algebrice, cˆat s , i
not , iuni din calculul matriceal, utilizate s , i ˆın [6].
√
Aplicat , ia 1. Fie A ∈ M 2 (R) o matrice astfel ˆıncˆat 2· det A > |tr A| . Demonstrat ,i
c˘a oricare ar fi matricea B ∈ M 2 (R) pentru care AB = BA, avem inegalitatea
det(A + B) ≥ 0. Cˆand se realizeaz˘a egalitatea?

√
a 11 a 12
Solut ,ie. Fie A = . Dac˘a a 12 = 0, atunci din |tr A| < 2 · det A ⇒
a 21 a 22
2
2
(a 11 + a 22 ) <4a 11 a 22 ⇒(a 11 − a 22 ) < 0, contradict , ie. Astfel A 6= λI 2 , deci
ˆ
exist˘a numerele reale a, b astfel ˆıncˆat B = aA + bI 2 . In continuare, det(A +
2
2
2
B) = det [(a + 1) A + bI 2 ] = b + (a + 1) · tr A · b+(a + 1) det A. Trinomul de
2
2
2
gradul al doilea in b , b + (a + 1) · tr A · b + (a + 1) det A, are discriminantul
2 2
∆ = (a + 1) tr A − 4 · det A ≤ 0, deci det (A + B) ≥ 0. Egalitate avem pentru
a = −1 ⇒ b = 0 ⇒ B = −A.

a b
Aplicat , ia 2. Consider˘am matricea A ∈ M 2 (R), A = . Presupunem c˘a
c d
2
2
1
2
2
elementele matricei A satisfac inegalitatea a + b + c + d < . S˘a se arate c˘a
5
det (A + I 2 ) > 0.
2

2
Solut ,ie. Utilizˆand inegalitatea ±xy ≥ − 1 x + y , putem scrie: det (I 2 + A) =
2 √
1
1
2
2
2
ad+a+d+1−bc ≥ a+d+1− 1 a + b + c + d 2 ≥a+d+1− 10 ≥ 1− 2 5 − 10 > 0,
2
5
1
1
ˆıntrucˆat − √ < a, d < √ .
5 5
Aplicat , ia 3. Fie A, B ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat det (AB + BA) ≤ 0. S˘a se arate c˘a
2
det A + B 2 ≥ 0.
2 2
Solut ,ie. Putem scrie: 0 ≤ det (A + B) + det (A − B)
2
2
2
2

= det A + B + AB + BA + det A + B − (AB + BA)
1
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,S , erban Cioculescu”, G˘aes , ti, florin.florinstanescu@yahoo.com
37