Page 34 - RMGO 4

˘
34 Dorin MARGHIDANU

Demonstrat¸ie. Concluzia este evident˘a dac˘a exist˘a k ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ˆıncˆat
ˆ
x k = 0. In continuare presupunem c˘a x 1 , x 2 , . . . , x n > 0.
Vom demonstra inegalitatea prin induct , ie.
Pentru n = 2, relat , ia (2) se obt , ine imediat prin calcul direct, sau din relat , ia
(1) – cu m = 1, x = x 2 , a = G 2 [x], din care deducem
2
G [x] √
2
+ x 2 ≥ 2 · G 2 [x] ⇔ x 1 + x 2 ≥ 2 · x 1 · x 2 , (3)
x 2
√
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x 2 = G 2 [x] ⇔ x 2 = x 1 · x 2 ⇔ x 1 = x 2 .
Presupunem inegalitatea (2) adev˘arat˘a ˆın cazul a n numere x k > 0, k = 1, n,
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x 1 = x 2 = . . . = x n (= G n [x]) s , i o vom demonstra
s , i ˆın cazul a n + 1 numere x k > 0, k = 1, n + 1.
Folosind ipoteza de induct , ie vom avea

(n + 1) · A n+1 [x] = x 1 + x 2 + . . . + x n + x n+1 ≥ n · G n [x] + x n+1 . (4)

Cum
! 1
n+1 n
G n+1 [x]
G n [x] = , (5)
x n+1
atunci pentru membrul drept din (4), folosind Lema 1 cu m = n, x = x n+1 ,
a = G n+1 [x], avem
! 1
n+1
G [x] n
n · n+1 + x n+1 ≥ (n + 1) · G n+1 [x]. (6)
x n+1
Din (4), (5) s , i (6) rezult˘a, finalmente, (n + 1) · A n+1 [x] ≥ (n + 1) · G n+1 [x] ⇔
A n+1 [x] ≥ G n+1 [x].

Egalitatea ˆın (6) are loc dac˘a s , i numai dac˘a
x n+1 = G n+1 [x] ⇔ x n+1 = x 1 · x 2 · . . . · x n · x n+1
n+1
n
⇔ x n = G [x] ⇔ x n+1 = G n [x] = x 1 = x 2 = . . . = x n .
n
n+1
Cu aceasta inegalitatea (2) este complet demonstrat˘a.

Sunt poate mai put , in cunoscute echivalent , ele dintre Inegalitatea mediilor s , i
unele inegalit˘at , i celebre, precum Inegalitatea lui Young [2], [13], [17], Inegalitatea
lui Bernoulli [2], [11], [13] [17], Inegalitatea lui H¨older [2], [13], [17], Inegalitatea
lui Minkowski [2], [16], Inegalitatea lui Lagrange [7], sau cu alte inegalit˘at , i mai
put , in celebre [2], [10], [12], [14], [16].
S˘a preciz˘am c˘a dou˘a inegalit˘at , i sunt echivalente dac˘a se implic˘a una pe cealalt˘a.
ˆ In cele ce urmeaz˘a vom mai evident , ia ˆınc˘a o inegalitate echivalent˘a cu inegali-
tatea mediilor. Mai exact, are loc urm˘atoarea: