Page 32 - RMGO 4

32 Daniel JINGA

Vom demonstra acum inegalitatea din stˆanga. Folosind faptul c˘a funct , ia
n
f : [0, ∞) → R, f(x) = x , unde n ∈ N, n ≥ 2 este convex˘a, sau demonstrˆand prin
induct , ie matematic˘a, avem inegalitatea
n n n
x + y x + y ∗
≤ , pentru orice x, y ≥ 0 s , i n ∈ N . (1)
2 2
Cu Inegalitatea lui Bergstr¨om avem

X 1 9
√ √ ≥ P √ √ . (2)
n
n
n r a + n r b n r a + n r b
Folosind (1) obt , inem
√ √ n S S
n r a + n r b r a + r b p−a + p−b S(2p − a − b) S · c
≤ = = = .
2 2 2 2(p − a)(p − b) 2(p − a)(p − b)
√ n n−1
Prin urmare n r a + √ ≤ 2 ·S·c . Rezult˘a
n
r b
(p−a)(p−b)
√ √
X n n−1 X c
n
( r a + n r b ) ≤ 2 · S · . (3)
(p − a)(p − b)
Dar
X c c(p − c) + a(p − a) + b(p − b)
=
(p − a)(p − b) (p − a)(p − b)(p − c)
2
2
2
p(a + b + c) − (a + b + c )
=
S 2
p
2
2
2
2p − 2(p − r − 4Rr) 2(4R + r) 2(4R + r)
= = = .
2
r p rp S
P 2 2 2
Am folosit a = 2(p − r − 4Rr).
P √ n
n
Atunci din (3) rezult˘a n r a + √ ≤ 2 (4R + r).
n
r b
Folosind acum (2) se obt , ine
X 1 9
√ √ ≥
n
n
n r a + n r b 2 (4R + r)
s , i demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a.
Observat ,ia 1. Egalit˘at , ile au loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Observat ,ia 2. Pentru n = 2 ˆın inegalitatea din dreapta se obt , ine Problema 27710.
Bibliografie
[1] M. Chirciu, Inegalit˘at , i cu laturi s , i raze ˆın triunghi, de la init , iere la performant , ˘a,
Editura Paralela 45, Pites , ti, 2017.

[2] R. Zamfir, Problema 27710, Gazeta Matematic˘a Seria B, nr. 6-7-8/2019.