Page 27 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 27

Atunci ecuat , ia (1) devine 2m ≡ 2l (mod 22), deci are solut , iile m ∈ {l, l + 11},
2 1
deci P = = . Subcazul 3.2. q = 2l + 1, cu l = 0, 10, adic˘a b ∈
22 11
{5, 10, 20, 17, 11, 22, 21, 19, 15, 7, 14}. Atunci (1) devine 2m ≡ 2l + 1 (mod 22),
b b b b b b b b b b b
deci nu are solut , ii, deci P = 0.
Cazul 4. p = 11, adic˘a a = 22 = −1. Atunci (1) devine 11m ≡ q (mod 22).
b
b
Subcazul 4.1. q 6∈ {0, 11}, adic˘a b 6∈ {1, 22}. Atunci (1) nu are solut , ii, deci P = 0.
b b
Subcazul 4.2. q = 0, adic˘a b = 1. Atunci (1) are solut , iile m = 2l, cu l = 0, 10,
b
11 1
deci P = = . Subcazul 4.3. q = 11, adic˘a b = 22. Atunci (1) are solut , iile
b
22 2
11 1
m = 2l + 1, cu l = 0, 10, deci din nou P = = .
22 2
MGO 117. Fie p un num˘ar prim de forma 4k + 1. Demonstrat ,i c˘a polinomul
f = X p−1 + aX + 1 ∈ Z p [X] este reductibil, pentru orice a ∈ Z p .
b
R˘amˆane afirmat ,ia adev˘arat˘a pentru numerele prime p de forma 4k + 3?
* * *
Solut ,ie. Cazul 1. a = 0. Atunci f = X p−1 b
+1. Cum p = 4k+1, exist˘a m ∈ Z p astfel
b
2
[
p −
ˆıncˆat m = −1 (ˆıntr-adev˘ar, pentru m = (2k)! folosind c˘a bx = − [ x pentru orice
b
2
2k [
\
x ∈ {1, 2, . . . , 2k} s , i Teorema lui Wilson avem m = (−1) ·(4k)! = (p − 1)! = −1).
b
2

Astfel f = X 4k − m = X 2k − m X 2k + m , deci f este reductibil.
∗
Cazul 2. a 6= 0. Atunci pentru orice x ∈ Z avem x p−1 = 1 (Mica teorem˘a a
p
b
b

lui Fermat), deci f(x) = ax + 2. Prin urmare f −2 · a −1 = 0, deci f se divide
b
b
b
cu X + 2 · a −1 s , i astfel este reductibil.
b
b) Afirmat , ia nu r˘amˆane neap˘arat adev˘arat˘a pentru p = 4k + 3. De exemplu, ˆın
2
Z 3 polinomul f = X + 1 este ireductibil, deoarece f(x) 6= 0 pentru orice x ∈ Z 3 .
b
b

 a + b + c + d = 4
2
2
2
2
4
MGO 118. Rezolvat ,i ˆın R sistemul a + b + c + d = 52 .
a + b + c + d = 868
 4 4 4 4
Florentin Vis , escu, Bucures , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
2
3
4
Solut ,ia 1. Fie x −px +qx −rx+t = 0 ecuat , ia avˆand r˘ad˘acinile a, b, c s , i d. Atunci
2
p − P a 2 16 − 52 P P P
2
3
p = 4 s , i q = = = −18. Cum a − p a + q a − 4r +
2 2
P 1 P r P P
3
4
3
t = 0, obt , inem a = 4·52+18·4+4r−t· = 280+3r. Dar a −p a +
a t
P 2 P
q a −r a+4t = 0, adic˘a 868−4(280+3r)−18·52−4r+4t = 0, deci t = 4r+297.
2
3
4
Ecuat , ia devine x −4x −18x −rx+4r+297 = 0. Cum x = 4 nu este solut , ie, ecuat , ia
2
3
4
x − 4x − 18x + 297 9
3
devine −r = 0, sau, echivalent, x −18x−72+ −r = 0,
x − 4 x − 4
9
3
adic˘a f(x) = 0, unde f : R \ {4} → R, f(x) = x −18x−72+ −r. Determin˘am
x − 4