Page 25 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 25

Solut ,ia 1. Vom utiliza urm˘atoarele dou˘a rezultate.
Lema 1 (problema MGO 79 din RMGO 1/2018). Fie α > β > 0 s , i a, b, c, d ≥ 0
2
2
2
2
2
2
astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 2α + β s , i a + b + c + d = 2α + β . Atunci
2
abc + abd + acd + bcd ≥ α β, cu egalitate pentru (α, α, β, 0) s , i permut˘arile sale.
Lema 2 (problema L 355 din RecMat 2/2018). Fie α ≥ β ≥ 0 s , i a, b, c, d ≥ 0
2
2
2
2
2
2
astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 3α + β s , i a + b + c + d = 3α + β . Atunci
2
3
abc + abd + acd + bcd ≥ α + 3α β, cu egalitate pentru (α, α, β, α) s , i permut˘arile
sale.
2
2
2
2
2
2
a) Avem (a + b + c + d) ≥ a + b + c + d = 2 s , i (a + b + c + d) ≤
√
√
2
2
2
2
4(a + b + c + d ) = 8, deci 2 ≤ a + b + c + d ≤ 2 2.
√
Cazul 1. 2 ≤ a+b+c+d ≤ 2. Atunci a+b+c+d−(abc+abd+acd+bcd) ≤
a + b + c + d = 2, cu egalitate pentru (1, 1, 0, 0) s , i permut˘arile sale.
√
!
√ 2 √
Cazul 2. 2 < a + b + c + d < 6. Funct , ia f : √ , 1 → 2, 6 , f(x) =
3
√
!
√ 2
2
2x + 2 − 2x este bijectiv˘a, deci exist˘a x ∈ √ , 1 astfel ˆıncˆat a + b + c + d =
3
√ √
2
2
2x + 2 − 2x . Aplicˆand Lema 1 pentru α = x s , i β = 2 − 2x rezult˘a c˘a
√
2
abc + abd + acd + bcd ≥ x 2 2 − 2x , deci a + b + c + d − (abc + abd + acd + bcd) ≤
√
√
√
2
2
2
2x + 2 − 2x − x 2 2 − 2x . Astfel este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a 2x + 2 − 2x −
√
√
√
2
2
x 2 2 − 2x < 2, echivalent cu (x + 1) 1 − x < 2, care este adev˘arat˘a deoarece
√ 1 1
2
x + 1 < 2 s , i 1 − x ≤ √ < √ .
3 2
√
" #
√ √ 1 2 √ √
Cazul 3. 6 ≤ a + b + c + d ≤ 2 2. Funct , ia g : √ , √ → 6, 2 2 ,
2 3
√
" #
√ 1 2
2
g(x) = 3x + 2 − 3x este bijectiv˘a, deci exist˘a x ∈ √ , √ astfel ˆıncˆat
2 3
√ √
2
a + b + c + d = 3x + 2 − 3x . Aplicˆand Lema 2 pentru α = x s , i β = 2 − 3x 2
√
3
2
rezult˘a c˘a abc + abd + acd + bcd ≥ x + 3x 2 2 − 3x , deci a + b + c + d − (abc +
√
√
3
2
2
abd + acd + bcd) ≤ 3x + 2 − 3x − x − 3x 2 2 − 3x . Astfel este suficient s˘a
√ √
3
2
2
ar˘at˘am c˘a 3x + 2 − 3x − x − 3x 2 2 − 3x < 2, care este adev˘arat˘a deoarece
√
2
2
3
2
(1 − 3x ) 2 − 3x ≤ 0 s , i 3x − x − 2 = −(1 − x) (x + 2) < 0.
√
2
b) Fie k < 1. Din demonstrat , ia Cazului 2, pentru orice x ∈ √ , 1
√ √ 3
2
2
2x + 2 − 2x − 2 2x + 2 − 2x − 2 1
avem √ < 1. Deoarece lim √ = lim 2 −
√
√ r x 2 2 − 2x 2 √ x%1 x 2 2 − 2x 2 x%1 x
2
2 1 − x 2 2x + 2 − 2x − 2
· = 1, exist˘a x ∈ √ , 1 astfel ˆıncˆat √ > k, de
x 2 1 + x 3 x 2 2 − 2x 2
unde, conform demonstrat , iei Cazului 2 s , i cazului de egalitate din Lema 1, deducem