Page 35 - RMGO 4

O demonstrat , ie inductiv˘a a Inegalit˘at , ii mediilor 35

Propozit , ia 2. Inegalitatea din Lema 1 s , i Inegalitatea mediilor sunt inegalit˘at ,i
echivalente.

Demonstrat¸ie. Implicat , ia – Inegalitatea din Lema 1 ⇒ Inegalitatea mediilor – a
fost prezentat˘a inductiv ˆın chiar demonstrat , ia propozit , iei anterioare.

Pentru implicat , ia contrar˘a – Inegalitatea mediilor ⇒ Inegalitatea din Lema 1 –
∗
observ˘am c˘a, pentru m ∈ N , folosind Inegalitatea mediilor avem, succesiv:
1 1 1
m+1 m+1 m+1
a m a m a m
m · + x = + . . . + +x
x x x
| {z }
m termeni
v
u" 1 # m

u a m+1 m
≥ (m + 1) · m+1 t · x
x
r
m+1 a m+1
= (m + 1) · · x = (m + 1)a,
x
adic˘a tocmai inegalitatea din Lema 1.

Bibliografie

[1] E.F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer–Verlag, Berlin, 1961.
[2] P.S. Bullen, D.S. Mitrinovi´c, P.M. Vasi´c, Means and Their Inequalities, D. Reidel
Publidshing Company, Dordrecht/Boston, 1988.

[3] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, 2-nd ed., Cambridge University
Press, England, Cambridge (reprinted), 1988.

[4] P.P. Korovkin, Inequalities (engl. translation), Mir Publishers, Moscow, 1975.

[5] D. M˘arghidanu, M. Bencze, New Proofs for AM – GM and Pondered AM – GM
Inequalities, Octogon Mathematical Magazine, vol. 12, no. 1, April, 2004, pp. 233-235.

[6] D. M˘arghidanu, Trei demonstrat ,ii pentru inegalitatea mediilor (Cauchy), SFERA,
III, nr. 5 (1/2004-2005), pp. 1- 4.
[7] D. M˘arghidanu, Inegalitatea lui Lagrange este echivalent˘a cu inegalitatea mediilor,
Arhimede, nr. 3-4, 2005, pp. 17-19.

[8] D. M˘arghidanu, M. Bencze, New Means and Refinements for AM-GM-HM Inequalities,
Octogon Mathematical Magazine, vol. 13, no. 2, October, 2005, pp. 999-1001.

[9] D. M˘arghidanu, M. Bencze, A new Proof for AM-GM Inequalitiy, Octogon Mathe-
matical Magazine, vol. 13, no. 2, October, 2005, pp. 1021-1026.