Page 42 - RMGO 4

42 Leonard Mihai GIUGIUC s , i Do Huu Duc THINH

ˆ In continuare, vom prezenta o rafinare la dreapta termenului din RHS al
Teoremei lui Suranyi, obt , inˆand astfel un lant , de 5 inegalit˘at , i, ce are drept capete
termenii din Teorema lui Turkevich.

Lema 1. Dac˘a a, b, c ≥ 0 atunci
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2

a + b + c 2 a + b + c + ab + bc + ca ≥ 6 a b + b c + c a .
Mai mult, egalitatea are loc pentru (k, k, k), ori (k, k, 0) s , i permut˘arile, k ≥ 0.
Demonstrat¸ie. Rescriem inegalitatea sub forma
4
4
2
2
2
2
2
2
2

3 a + b + c 4 + a + b + c 2 a + b + c + ab + bc + ca ≥ 3 a + b + c 2 2 .
Putem presupune WLOG c˘a a ≥ b ≥ c. Conform Cˆırtoaje EV Theorem, Corollary
2
2
4
1.4 ([2]), pentru funct , ia f (u) = u pe (0, ∞), dac˘a fix˘am a + b + c s , i a + b + c 2
4
4
4
(deci implicit ab + bc + ca este fixat˘a), atunci a + b + c este minimal ori pentru
c = 0, ori pentru 0 < c ≤ a = b. Datorit˘a omogenit˘at , ii, este suficient s˘a consider˘am
dou˘a cazuri: Cazul 1) c = 0 s , i Cazul 2) a = b = 1 ≥ c > 0.
ˆ In Cazul 1) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a a + b 2 a + b + ab ≥
2
2
2

2 2
2
2
2
2
6a b , inegalitate evident adev˘arat˘a din AM-GM: a +b ≥ 2ab s , i a +b +ab ≥ 3ab,
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a = b.
ˆ In Cazul 2) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a c(c − 1) (c + 4) ≥ 0,
2
adev˘arat, cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a c = 1, adic˘a a = b = c = 1.
Teorema 1. Dac˘a a 1 , . . . , a 4 sunt numere reale nenegative, atunci
 
!
4 4
X 2 X 2 X X 2 2
a i  3 a + a i a j  ≥ 12 a a .
i j
i
i=1 i=1 1≤i<j≤4 1≤i<j≤4
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a toate numerele sunt egale sau unul
este nul, iar celelalte trei sunt egale.
Demonstrat¸ie. Rescriem inegalitatea sub forma
! 2
4 4 4 4
P 4 P 2 P 2 P P 2
6 a + a i 3 a + a i a j ≥ 6 a i .
i
i
i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4 i=1
Presupunem WLOG c˘a a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ a 4 .
Facem din nou apel la Cˆırtoaje EV Theorem, Corollary 1.4 pentru funct , ia
4 4
4
2
f (u) = u pe (0, ∞), ˆın ipoteza c˘a fix˘am P a i s , i P a (deci implicit P a i a j
i
i=1 i=1 1≤i<j≤4
este fixat˘a). Ca s , i ˆın demonstrat , ia Lemei 1, este de-ajuns s˘a consider˘am dou˘a
cazuri: Cazul 1) a 4 = 0 s , i Cazul 2) a 1 = a 2 = a 3 = 1 ≥ a 4 > 0.