Page 43 - RMGO 4

O rafinare a Inegalit˘at , ii lui Turkevich 43

ˆ In Cazul 1) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a

!
3 3

P 2 P 2 P P 2 2
a i 3 a + a i a j ≥ 12 a a .
i
i j
i=1 i=1 1≤i<j≤3 1≤i<j≤3
!
3 3

P 2 P 2 P P 2 2
Din Lema 1, 2 a a + a i a j ≥ 12 a a . R˘amˆane de
i i i j
i=1 i=1 1≤i<j≤3 1≤i<j≤3
! !

3 3 3 3
P 2 P 2 P P 2 P 2 P
ar˘atat c˘a a i 3 a + a i a j ≥ 2 a i a + a i a j ,
i
i
i=1 i=1 1≤i<j≤3 i=1 i=1 1≤i<j≤3
3
P 2 P
adic˘a a ≥ a i a j , inegalitate evident adev˘arat˘a, cu egalitate dac˘a s , i nu-
i
i=1 1≤i<j≤3
mai dac˘a a 1 = a 2 = a 3 .
ˆ In Cazul 2) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a a 4 (a 4 − 1) (a 4 + 3) ≥ 0,
2
adev˘arat, cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a 4 = 1, adic˘a a 1 = . . . = a 4 = 1.
Teorema 2. Dac˘a a 1 , . . . , a 4 sunt numere reale nenegative, atunci
 
! ! !
4 4 4 4 4
X X 3 Y 1 X 2 X 2 X
a i a i + 2 a i ≥ a i  3 a + a i a j  .
i
i=1 i=1 i=1 4 i=1 i=1 1≤i<j≤4
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a toate numerele sunt egale sau unul
este nul, iar celelalte trei sunt egale.
Demonstrat¸ie. Presupunem WLOG c˘a a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ a 4 . Utilizˆand acelas , i
3
principiu din demonstrat , ia Teoremei 1, considerˆand funct , iile g(u) = u s , i h(u) =
4 4
P 3 Q
ln u pe (0, ∞), avem c˘a a s , i a i sunt minimale ˆın condit , iile ment , ionate
i
i=1 i=1
ˆ
anterior. In Cazul 1) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a
!
3 3 3 3

P P 3 1 P 2 P 2 P
a i a ≥ a 3 a + a i a j .
i 4 i i
i=1 i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤3
2

3 3 3 3
P 2 P P P 3 P 2
Cum a ≥ a i a j , e suficient s˘a ar˘at˘am c˘a a i a i ≥ a i ,
i
i=1 1≤i<j≤3 i=1 i=1 i=1
inegalitate adev˘arat˘a din C.B.S., cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = a 3 .
2
ˆ In Cazul 2) inegalitatea se reduce la a demonstra c˘a a 4 (a 4 − 1) (a 4 + 11) ≥ 0,
adev˘arat, cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a 4 = 1, adic˘a a 1 = . . . = a 4 = 1.

4 4 4
P P 3 Q
Observat ,ia 1. Teoremele 1 s , i 2 ne arat˘a c˘aˆıntre termenii a i a i +2 a i
i=1 i=1 i=1
!
4 4

P 2 2 1 P 2 P 2 P
s , i 3 a a putem insera termenul 4 a i 3 a + a i a j , ra-
i j
i
1≤i<j≤4 i=1 i=1 1≤i<j≤4

4 4 4
P P 3 Q P 2 2
finˆand astfel inegalitatea a i a i + 2 a i ≥ 3 a a .
i j
i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤4