Page 19 - RMGO 4

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 19

3
Solut ,ie. Evident, E(x, x, x) = . Ar˘at˘am c˘a pentru orice x, y, z > 0 avem
2
3 P P
3
E(x, y, z) ≥ , inegalitate echivalent˘a cu 4 x ≥ 3 xy(x+y)−6xyz, (1). Dar,
2
P 3 P
conform Inegalit˘at ,ii lui Schur, avem 4 x ≥ 4 xy(x + y) − 12xyz, (2), deci
P P
este suficient s˘a demonstr˘am c˘a 4 xy(x+y)−12xyz ≥ 3 xy(x+y)−6xyz, (3),
P
adic˘a xy(x + y) ≥ 6xyz, inegalitate care rezult˘a imediat folosind Inegalitatea
3
mediilor. Din (2) s , i (3) rezult˘a (1), deci min E(x, y, z) = .
x,y,z>0 2
MGO 103. Rezolvat ,i ˆın R × R ecuat ,ia
3
2
3
2
(sin x + 2)(cos y − 3 sin y − 3) + (cos y − 3)(2 cos x − sin x − 2) = 0.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
2
2
3
2 sin x + sin x cos y + 3 cos y − 6
Solut ,ie. Ecuat , ia se poate rescrie sub forma 3 = ,
sin x + 2 cos y − 3
2
2t + t
adic˘a f(sin x) = g(cos x), considerˆand funct , iile f, g : [−1, 1] → R, f(t) = s , i
3
t + 2
2
2
3
t + 3t − 6 (t − 1)(2 − t)
g(t) = . Pentru orice t ∈ [−1, 1] avem f(t) − 1 = ≤ 0
3
t − 3 t + 2
2
(t − 1)(t + 3)
s , i g(t) − 1 = ≥ 0, deci f(t) ≤ 1 ≤ g(t), iar fiecare egalitate are
t − 3
loc dac˘a s , i numai dac˘a t = ±1. Prin urmare sin x = ±1 s , i cos y = ±1, adic˘a
π
x = + kπ s , i y = mπ, cu k, m ∈ Z.
2
MGO 104. Fie ABC un triunghi neechilateral ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O
s , i circumscris unui cerc de centru I. Not˘am cu M, N s , i P centrele cercurilor
exˆınscrise triunghiului ABC. S˘a se arate c˘a centrul de greutate al triunghiului
MNP se afl˘a pe dreapta OI.
Marin Ionescu, Pites , ti
Solut ,ie. Fie D, E s , i F punctele de intersect , ie ale segmentelor [IM], [IN], respectiv
[IP] cu cercul circumscris 4ABC, deci D ∈ AI, E ∈ BI, F ∈ CP. Triunghiul
IBM este dreptunghic ˆın B (deoarece BI s , i BM sunt bisectoarea interioar˘a,
respectiv exterioar˘a ale unghiului ABC) s , i BD = ID (deoarece m (^BID) =
_ _ _ _ _
m(BD) + m(AE) m (^BAC) + m (^ABC) m(CD) + m(CE) m(DE)
= = = =
2 2 2 2
m (^IBD)), deci D este mijlocul lui [IM]. Analog, E este mijlocul lui [IN] s , i
−−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→
F este mijlocul lui [IP]. Rezult˘a c˘a 2OD = OI + OM, deci OM = 2OD − OI
−−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→
s , i, analog, ON = 2OE − OI, OP = 2OF − OI. Notˆand cu V centrul de greu-
tate al triunghiului MNP, utilizˆand Relat ,ia lui Leibniz s , i egalit˘at , ile anterioare
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→
rezult˘a c˘a 3OV = OM + ON + OP = 2 OD + OE + OF − 3OI, (1). Dar
I este ortocentrul triunghiului DEF (deoarece, de exemplu, m (^(DA, EF)) =
_ _ _ _ _
m(AF) + m(DE) m(AF) + m(DC) + m(CE) 1
= = m (^ACB)+m (^BAC)+
2 2 2