Page 5 - RMGO 4

Probleme propuse 5

Clasa a VII-a

MGO 131. Determinat , i perechile (x, y) de numere naturale nenule cu proprietatea
c˘a
2
x + y 2 · [7x, y] − 91xy = 0,
unde [7x, y] reprezint˘a cel mai mic multiplu comun al numerelor 7x s , i y.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 132. Demonstrat , i c˘a fract , ia

1 2019 + 2 2019 + 3 2019 + 4 2019 + 5 2019 + 6 2019
1 2020 + 2 2020 + 3 2020 + 4 2020 + 5 2020 + 6 2020
este reductibil˘a.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

MGO 133. Determinat , i numerele prime p s , i q, p > 3, astfel ˆıncˆat

(p − 3)! + 9 8
− 4225 = q ,
p − 2
∗
unde n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n, pentru orice n ∈ N .
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

MGO 134. Se consider˘a un triunghi neisoscel ABC. Fie G centrul s˘au de greutate
s , i I centrul cercului ˆınscris ˆın acest triunghi. Ar˘atat , i c˘a dac˘a GI ⊥ BC, atunci
b + c
a = , unde a, b s , i c reprezint˘a lungimile laturilor BC, AC s , i respectiv AB.
3
Reciproca este adev˘arat˘a?

Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a

◦
MGO 135. Fie ABCD un patrulater cu AB = BC = CD, m (^ABC) = 70 s , i
◦
m (^BCD) = 170 .
a) Calculat , i m˘asura unghiului dintre diagonalele patrulaterului.
b) Calculat , i m˘asurile unghiurilor BAD s , i ADC ale patrulaterului.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti