Page 56 - RMGO 4

56 Mihai Florea DUMITRESCU

Testul 3

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Aflat , i produsul primilor 5 termeni ai unei progresii geometrice, s , tiind c˘a
termenul al treilea este egal cu 2.

2
2. Determinat , i num˘arul natural a, s , tiind c˘a parabola y = (a + 1) x + 5x + a 2
cont , ine punctul A (1, 8).
x
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia |2 − 1| − |5 − 2 | = 0.
4. Determinat , i probabilitatea ca, alegˆand o submult , ime cu dou˘a elemente din
mult , imea {1, 2, 3, . . . , 7}, aceasta s˘a aib˘a ambele elemente cifre pare.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctul A(5, 2) s , i dreapta h de ecuat , ie
x − y + 2 = 0. Scriet , i ecuat , ia perpedicularei din punctul A pe dreapta h.

6. Un triunghi ABC are laturile AB = 4, AC = 6 s , i BC = 9. Calculat , i
produsul dintre raza cercului ˆınscris s , i raza cercului circumscris triunghiului
ABC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

a a + 1
1. Fie matricea A (a) = , a ∈ R.
a − 1 a
2
a) Ar˘atat , i c˘a det (A (a)) = 1, pentru orice num˘ar real a.
3 2
b) Ar˘atat , i c˘a (A (a)) = 4a − 1 A (a) − 2aI 2 , pentru orice num˘ar real a.
c) Rezolvat , i ˆın M 2 (R) ecuat , ia A (1) · X = A (−2).

2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie

x ∗ y = xy − 3x − 3y + 12.

a) Aflat , i elementul neutru al legii ,,∗”.
b) Aflat , i numerele ˆıntregi ale c˘aror simetrice ˆın raport cu legea ,,∗” sunt
tot numere ˆıntregi.
c) Ar˘atat , i c˘a f (xy) = f (x)∗f (y), oricare ar fi numerele reale x s , i y, unde
f : R → R, f (x) = x + 3.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

√ √
1. Se consider˘a funct , ia f : (1, +∞) → R, f (x) = ln ( x − 1) − x.