Page 60 - RMGO 4

˘
˘
60 Costel BALCAU
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(1, −2), B(4, 2), C(0, 3) s , i
−→
−−→
D astfel ˆıncˆat ABCD este paralelogram. Calculat , i AC − BD .

π

6. Determinat , i x ∈ [0, 2π), s , tiind c˘a 5 sin (x − π) + 3 cos x − = 1.
2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 
a 1 1
1. Fie matricea A(a, b) =  2 b 2  , unde a, b ∈ R.
1 1 a

a) Determinat , i a ∈ R pentru care matricea A(a, 1) nu este inversabil˘a.
b) Determinat , i m ∈ R s , tiind c˘a matricea A(m, 2m) are rangul egal cu 2.
c) Determinat , i perechile de numere ˆıntregi (a, b) astfel ˆıncˆat matricea
adjunct˘a a matricei A(a, b) s˘a aib˘a determinantul egal cu 1.

3
4
2
2. Se consider˘a polinomul f = X − 3X + X + m, unde m ∈ R.
a) S , tiind c˘a x 1 , x 2 , x 3 s , i x 4 sunt r˘ad˘acinile polinomului f, determinat , i
3
3
3
3
x + 1 x + 1 x + 1 x + 1
2
3
1
4
∗
m ∈ R pentru care + + + = x 1 x 2 x 3 x 4 .
x 1 x 2 x 3 x 4
b) Determinat , i m ∈ Z astfel ˆıncˆat polinomul f s˘a aib˘a o r˘ad˘acin˘a dubl˘a.
c) Determinat , i m ∈ R pentru care toate r˘ad˘acinile polinomului f sunt
numere reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 3x + .
e x
a) Determinat , i asimptotele graficului funct , iei f.
b) Determinat , i coordonatele punctului situat pe graficul funct , iei f ˆın care
tangenta la graficul funct , iei f este paralel˘a cu prima bisectoare.
c) Determinat , i a ∈ R, s , tiind c˘a f(x) ≥ ax + 2 pentru orice x ∈ R.

∗
2. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = ln x s , i, pentru orice n ∈ N s , i
a f(x)
Z
a ∈ (0, ∞), se consider˘a num˘arul I n (a) = n dx.
1 x
a) Calculat , i 4I 1 (e) + eI 2 (e).
b) Calculat , i aria suprafat , ei plane delimitate de graficul funct , iei f, axa Ox
1
s , i dreptele de ecuat , ii x = s , i x = e.
e
I 2020 (a)
c) Calculat , i lim .
a→1 (a − 1) 2