Page 62 - RMGO 4

˘
˘
62 Costel BALCAU
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consider˘a funct , ia f : (−∞, 2) → R, f(x) = 2 ln(2 − x) − (1 − x)(3 − x).

a) Determinat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficului funct , iei f.
b) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este concav˘a.
2
c) Fie funct , iile g : R → R, g(x) = x − 4x + 3 s , i h : (−∞, 2) → R,
2
h(x) = ln(x − 2) . Demonstrat , i c˘a graficele funct , iilor g s , i h au un
singur punct comun.
1 − x
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
e x
a) Dac˘a F este o primitiv˘a a funct , iei f, ar˘atat , i c˘a F(x) ≤ F(1), pentru
orice x ∈ R.
4 f( x)
Z √
b) Calculat , i √ dx.
1 x
√ √ √
n
n
(n − 1) e n−1 + (n − 2) e n−2 + . . . + n e
c) Calculat , i lim .
n→∞ n 2