Page 55 - RMGO 4

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea s , tiint , e ale naturii 55

ˆ
∗
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(0, 3) s , i B(a, 0), a ∈ R .
Calculat , i a astfel ˆıncˆat panta dreptei AB s˘a fie egal˘a cu 2.
1
2
6. Rezolvat , i ˆın intervalul (0, π) ecuat , ia cos x = .
2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


x + y + z = 9

1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii 2x − ay + z = −2 , unde a ∈ R.
ax + 5y − 2z = 8

a) Calculat , i determinantul matricei sistemului.
b) Ar˘atat , i c˘a matricea sistemului este nesingular˘a, pentru orice a ∈ R.

c) Pentru a = 3, rezolvat , i sistemul.
n
∗
2. Se consider˘a polinomul f = (X + 1) + X − 9, n ∈ N .
a) Pentru n = 4, aflat , i restul ˆımp˘art , irii polinomul f la polinomul X + 2.
b) Pentru n = 3, aflat , i r˘ad˘acinile polinomului f.

c) Pentru n = 3, aflat , i un polinom g de gradul al III-lea cu r˘ad˘acinile
1 1 1
y 1 = − , y 2 = − , y 3 = − , unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile
x 1 x 2 x 3
polinomului f.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

√
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = x x − ln x.
3√ 1
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = x − , pentru orice x ∈ (0, +∞).
2 x
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a
x 0 = 1 situat pe graficul funct , iei f.

2 2
c) Demonstrat , i c˘a f (x) ≥ 1 − ln , pentru orice x ∈ (0, ∞).
3 3
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x + 2x + 4.
1 4
Z
a) Ar˘atat , i c˘a (f(x) − 4) dx = .
0 3
1
Z
2
b) Calculat , i |x| e x f(x) − x − 2x dx.
−1
Z 1
2 1 2
c) Ar˘atat , i c˘a ≤ dx ≤ .
7 −1 f (x) 3