Page 54 - RMGO 4

54 Mihai Florea DUMITRESCU

2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a
1
x ∗ y = xy − (x + y) + 14.
7
1
a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = (x − 7)(y − 7) + 7, pentru orice numere reale x s , i y.
7
b) Ar˘atat , i c˘a intervalul (7, +∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu
legea de compozit , ie ,,∗”.
2
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x∗(−x)∗x = (x − 7) +7.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1
1. Se consider˘a funct , ia f : (−∞, 2) → R, f (x) = .
x
e (x − 2)
a) Calculat , i lim f (x).
x→−∞
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficul funct , iei f.
1
c) Ar˘atat , i c˘a x ≥ 2 − , pentru orice x ∈ (−∞, 2).
e x−1
√
2. Fie funct , iile f : (1, +∞) → R, f(x) = ln ( x − 1) s , i F : (1, +∞) → R,
√ x √
F (x) = (x − 1) ln ( x − 1) − − x.
2
a) Ar˘atat , i c˘a funct , ia F este o primitiv˘a a funct , iei f.

Z e+1
b) Ar˘atat , i c˘a f x 2 dx = 1.
2
e
Z 2
0
c) Calculat , i f (x) + xf (x) dx.
4
Testul 2

SUBIECTUL I (30 de puncte)

√
1. Aflat , i partea ˆıntreag˘a a num˘arului a = 1 + 2 3.

2. Determinat , i num˘arul ˆıntreg a, pentru care minimul funct , iei f : R → R,
2

2
f(x) = a + 1 x + 6x + 1 este num˘ar ˆıntreg.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor ˆıntregi inecuat , ia log (x − 3x + 2) ≤ 1.
2
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor
naturale de dou˘a cifre, acesta s˘a aib˘a produsul cifrelor un num˘ar par.