Page 52 - RMGO 4

52 Costel ANGHEL s , i Florea BADEA

SUBIECTUL al III-lea
Scriet , i pe foaia de examen rezolv˘arile complete.

ˆ
1. Intr-o urn˘a sunt bile albe s , i ros , ii, ˆın total 75 de bile. Probabilitatea s˘a se
4
extrag˘a o bil˘a alb˘a din urn˘a este de .
5
a) Aflat , i num˘arul de bile albe din urn˘a. (2p)
b) Calculat , i probabilitatea ca din urn˘a s˘a se extrag˘a o bil˘a ros , ie. (3p)

q q √
√ 2 2
2. Numerele reale x s , i y verific˘a relat , ia x − 5 7 + 7 5 − y ≤ 0.
a) Aflat , i numerele x s , i y. (2p)
2 1
b) Comparat , i numerele s , i √ . (3p)
3x + 5y 15xy
2
3. a) Rezolvat , i ecuat , ia x − 16x + 64 = 0, x ∈ R. (2p)
b) Determinat , i numerele reale x s , i y, s , tiind c˘a ele verific˘a egalitatea
2
2
2x + 4y + 64 = 16x + 4xy. (3p)
4. Fie 4ABC isoscel, AB = AC = 100 cm s , i BC = 120 cm. Cercul ˆın care
[BC] este diametru intersecteaz˘a (AB) ˆın M s , i (AC) ˆın N.

a) Dac˘a P este mijlocul lui (BC), demonstrat , i c˘a dreptele AP, BN s , i
CM sunt concurente. (2p)
b) Calculat , i aria patrulaterului BCNM. (3p)

5. Piramida patrulater˘a regulat˘a V ABCD are toate muchiile congruente,
√
ˆın˘alt , imea [V O] are lungimea 10 2 cm s , i punctul M este mijlocul muchiei
(V A). Calculat , i:

a) Volumul piramidei V ABCD. (2p)
b) Distant , ele de la punctul M la diagonalele bazei piramidei. (3p)

6. Se consider˘a un cilindru circular drept, ˆın care ABCD este o sect , iune axial˘a.
ˆ
Generatoarea cilindrului are lungimea de 25 cm. In baza care cont , ine
diametrul [AB] se ˆınscrie un triunghi echilateral AMN a c˘arui arie este egal˘a
√
2
cu 100 3 cm . Aflat , i:
a) Raza s , i volumul cilindrului. (2p)
b) Distant , a de la punctul D la dreapta MN. (3p)