Page 50 - RMGO 2

50 Costel ANGHEL

C 0 C n 1 C n 2
n
2
3
4. Consider˘am funct , iile f, g : R → R, f(x) = · x + · x + · x +
1 2 3
C n (1 + x) n+1
n
. . . + · x n+1 , g(x) = , unde n este un num˘ar natural nenul.
n + 1 n + 1
0
0
(a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = g (x), ∀x ∈ R.
1
(b) Ar˘atat , i c˘a f(x) = g(x) − , ∀x ∈ R.
n + 1
C n 0 C n 1 C n n 2 n+1 − 1
(c) Demonstrat , i c˘a + + . . . + = .
1 2 n + 1 n + 1
* * *
Clasa a XII-a

SUBIECTUL I

√ √ √
1. Calculat , i 2 + 3 +. . .+ 8 , unde [x] este partea ˆıntreag˘a a num˘arului
real x.

2
2. Determinat , i valoarea maxim˘a a funct , iei f : R → R, f(x) = −x + 5x.
√
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 8 2x+1 = 3 4.

4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand la ˆıntˆamplare un element din mult , imea
A = {1, 2, 3, . . . , 60}, acesta s˘a fie divizibil cu 6 s , i s˘a nu fie divizibil cu 12.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a dreapta h de ecuat , ie y = 2x − 3 s , i
punctul A(−1, 1). Determinat , i ecuat , ia dreptei care trece prin punctul A s , i
este perpendicular˘a pe dreapta h.

6. Determinat , i raza cercului circumscris unui triunghi echilateral care are aria
√
egal˘a cu 4 3.

SUBIECTUL al II-lea

1 2015
1. Se consider˘a matricea A = .
0 1
(a) Calculat , i det(A 2015 ).

(b) Ar˘atat , i c˘a matricea A 2015 − 2A 2014 + A 2013 nu este inversabil˘a.
(c) Determinat , i toate matricele X ∈ M 2 (R) cu proprietatea c˘a are loc
2
egalitatea X = A.