Page 49 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a IV-a 49

Clasa a X-a

2
2
2
1. Calculat , i (1 − 2z )(1 − 2z )(1 − 2z ), unde z 1 , z 2 , z 3 sunt r˘ad˘acinile cubice
1 2 3
ale unit˘at , ii.
* * *
√ √
3 − 1 +
2. Rezolvat , i ecuat , ia 2 log x 3 − x log 2
3 = 2.
Camelia Macsut, Craiova, Supliment G.M.-B nr. 3/2015
3. (a) S˘a se calculeze aria triunghiului determinat de dreptele de ecuat , ii
x = 4, y = x + 1 s , i 3x + 2y + 10 = 0.
(b) Fie punctele A(1; 2), B(2; 9), C(3; −1) s , i D(4; a). S˘a se determine
T
valorile lui a ∈ R pentru care [AD] [BC] 6= ∅.
* * *

∗
4. (a) Ar˘atat , i c˘a exist˘a a, b ∈ Z astfel ˆıncˆat pentru orice n ∈ N are loc
(2n)!
n
egalitatea = aC n + bC 2n+1 .
2n−1
n!(n + 1)!
∗
(b) Deducet , i c˘a pentru orice n ∈ N num˘arul (2n)! se divide cu n!(n + 1)!.
* * *

Clasa a XI-a

 
3 2 1
1. Se consider˘a matricele A =  6 4 2  s , i B = I 3 + A.
9 6 3

2
(a) Verificat , i c˘a A = 10A.
(b) Ar˘atat , i c˘a B este inversabil˘a s , i determinat , i B −1 .
* * *

2. Fie matricele A, B ∈ M 2 (C) cu AB + BA = O 2 s , i det(A + B) = 0.
2
2
Demonstrat , i c˘a det(A + B ) = 0.
* * *

3. Calculat , i:
√
3 − 5 + x
(a) lim √ .
x→4 1 − 5 − x
cos 2x − cos 4x
(b) lim .
x→0 x 2
* * *