Page 66 - RMGO 5

66 Mihai Florea DUMITRESCU

a
a) Arˇatat , i cˇ A (1) + A (−1) − 2A (0) = O 2 .
b) Aflat , i num˘arul natural n pentru care are loc egalitatea
t

det (A (1)) + A (n) = 5.
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

det (A (0) − xI 2 ) = det (A (1) − xI 2 ) .

a
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativˇ
1
x ∗ y = xy − (x + y) + 10.
5
1
a
a) Arˇatat , i cˇ x ∗ y = (x − 5)(y − 5) + 5, pentru orice numere reale x s , i y.
5
a
b) Gˇasit , i douˇ numere ˆıntregi a s , i b, astfel ˆıncˆat a ∗ b este pˇatrat perfect.
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x ∗ x ∗ x = 0.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1 1
1. Se considerˇ funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = √ − .
a
x x 2
f (x)
a) Calculat , i lim .
x→+1 x − 1
b) Aflat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficul funct , iei f.
c) Stabilit , i intervalele de monotonie ale funct , iei f.

2
a
2. Se considerˇ funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = ln x + ln x + 1.
2
Z
a) Calculat , i [f(x) − (ln x + 1) ln x] · x dx.
1
Z e f (x) − 1
b) Calculat , i √ dx.
1 ln x
a
c) Aflat , i numˇarul real a > 1, astfel ˆıncˆat sˇ aibˇ loc egalitatea
a
Z a
(f (x) − ln x − 1) dx = 2a − 2.
1