Page 56 - RMGO 5

56 Leonard Mihai GIUGIUC
√
2 − 1
ii) Fie β > , fixat. Presupunem prin reducere la absurd c˘a ine-
2
s
2 2 2 3
a + b + c
3
3
3
ı
galitatea ≥ abc + β a + b + c − 3abc este ˆntotdeauna
3
adev˘arat˘a. Deci ea este adev˘arat˘a pentru b = c = 1 s , i a = x, (∀)x ∈ (1, 2),
s
2 3
x + 2
3
adic˘ ≥ x + β(x + 2 − 3x), (∀) ∈ (1, 2), de unde ar rezulta c˘
a
a
3
s
√ x + 2 3
2
3
2 2 = lim ≥ lim x + β(x + 2 − 3x) = 2 + 4β,
x→2 3 x→2
√
2 − 1
deci β ≤ , contradict , ie. Demonstratia teoremei este ˆıncheiat˘a.
2
ˆ In ˆıncheiere, propunem spre studiu urm˘atoarea problem˘a.
a
Se consider˘ mult , imea
3
M = (a, b, c) ∈ [0, ∞) | b + c ≥ a, c + a ≥ b, a + b ≥ c .
Determinat , i toate valorile β ∈ R pentru care inegalitatea
s
2 2 2 3 √
a + b + c h 3
≥ abc + ( 2 − 1) β (a + b + c) +
3
i
+ (1 − 5β) (a + b + c) (ab + bc + ca) + 9(2β − 1)abc

are loc pentru orice (a, b, c) ∈ M.

Bibliografie

[1] http://rmgo.upit.ro/RMGO2/mobile/index.html#p=41

[2] https://www.facebook.com/photo?fbid=10215019109304247&set=g.
400828670030032